Codeforces 785D-Anton and School - 2

题目原址

[http://codeforces.com/contest/785/problem/D]

题意

给一组只含 ’ ( ’ 和 ’ ) ’ 的字符串，你可以删去其中一些位置的括号，也可以不删，使得剩下的括号成为满足下列条件的括号组。

1. "()"是一个好的括号组。
2. 如果X是一个好的括号组，那么"(X)"也是一个好的括号组。
3. 同时满足 1. 和 2. 的括号组是好的括号组。

删除不同位置括号得到好括号组算作是不同的方法，问有多少种方法能让原来的字符串变成好的括号组。

题解

想要得到好的括号组，对于字符串中的每个 ’ ( ’ ，就必定要从左边选取 k 个 ’ ( ’ ，再从右边选取 k+1 个 ’ ) ’ 。
所以对于每个位置，如果用 l 表示该括号左边的 ’ ( ’ 数， r 表示该括号右边的 ’ ) ’ 数，那么该位置能够组成好括号组的方法数为：
$$\sum _{i=0}^{min(l,r-1)}{C}_l^i\cdot C_r^{i+1}$$这样写会超时，用范德蒙不等式化简，其表达式为：
$$\sum _{i=0}^k{C}_n^i\cdot C_m^{k-i}=C_{n+m}^k$$证明从略，其实从选取的角度去看，公式本身就很有道理。化简方法为：
$$\sum _{i=0}^{min(l,r-1)}{C}_l^i\cdot C_r^{i+1}=\sum _{i=0}^{r-1}{C}_l^i\cdot C_r^{r-1-i}=C_{l+r}^{r-1}$$
先用两个数组预处理字符串，第一个数组表示某个位置（算上自己）左边总共有多少个 ’ ( '，第二个数组表示某个位置（算上自己）右边总共有多少个 ‘ ) ’ ，再对字符串从左到右遍历一遍，利用上述不等式累加求和即可。
组合数可以通过阶乘和逆元算出来。

对于阶乘的逆元，很显然，如果：
$$n!\ast inv(n!)\equiv 1(modm)$$那么 $(n-1)!$ 的逆元：
$$(n-1)!\ast (n\ast inv(n!))\equiv 1(modm)$$用欧几里德算法算出最大的阶乘的逆元即可。

实现

#include <stdio.h> 
#include <string.h> 
#include <algorithm> 
using namespace std; 
typedef long long ll; 
const int maxn = (int)2e5+5; 
const int mod  = (int)1e9+7; 
char s[maxn]; 
int suml[maxn],sumr[maxn]; 
ll fac[maxn],inv[maxn]; 
int i,j,k; 
int x,y;void finv(int a,int b,int&x,int&y){//欧几里德算法  if(b==0){         x=1;y=0;         return;     }     finv(b,a%b,y,x);     y-=a/b*x%mod;     return; 
} 
void ffac(){//初始化求0-maxn的阶乘和逆元inv[0]=fac[0]=1;for(i=1;i<maxn;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;finv(fac[maxn-1],mod,x,y);//欧几里德算逆元inv[maxn-1]=x;for(i=maxn-2;i>=0;i--)//其他阶乘逆元inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(int a,int b){//组合数if(b>a||b<0||a<0)return 0;elsereturn fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}int main()
{scanf("%s",s);int len = strlen(s);//预处理    suml[0] = (s[0]=='(');for(i=1;i<len;i++)suml[i]=suml[i-1]+(s[i]=='(');sumr[len-1]=(s[len-1]==')');for(i=len-2;i>=0;i--)sumr[i]=sumr[i+1]+(s[i]==')');ffac();ll ans=0;for(i=0;i<len;i++)if(s[i]=='(')ans=(ans+C(suml[i]+sumr[i]-1,sumr[i]-1))%mod;//范德蒙恒等式printf("%I64d\n",ans);
}