《代数数论讲义》（1923）
代数数理论讲义
[德]埃里希·赫克（Erich Hecke，1887.9.20-1947.2.13） 著，王元译
潘承彪的一点说明：
至今，最好的代数数论入门书可能仍然是E.Hecke于1923年写的《Lectures on the Theory of Algebraic Numbers》。但该书对初学者可能有一定困难，而且没有习题。如果配合它同时学习我们的书可能会好些。这也是我们写该书的目的之一。
本书原来名为《初等代数数论》, 其理由在序言中已作说明，这是我所坚持的，但承洞并不赞成，因为其内容以至方法并不“初等”，这是有道理的。所以，现在再版时更名为《代数数论》，这是更合适的。
【赫克的生平简介】
德国数学家，主要工作是用解析方法研究代数数论，他的研究对后来代数数论的发展有重要影响。他的论文收集在《数学文集》（1959）中。
1887年9月20日，生于德国波森（今波兰波兹南），
1905-1910年，在布雷斯劳、柏林和格丁根大学学习，
1910年，在希尔伯特指导下获博士学位。
后在格丁根大学任希尔伯特及克莱因的助教，
1912年，任无薪讲师。
1915年，成为巴塞尔大学教授，
1917年，将狄利克雷L函数推广到代数数域上（赫克L函数），从而可推出素理想分布的性质。
1918年，进一步推广特征标的概念，引进量特征标，相应定义量特征标L函数并给出其无穷乘积表示和函数方程。
1918年，回格丁根，
1919年以后，一直任汉堡大学教授，直到1947年2月13日在丹麦哥本哈根去世。
1937年，建立赫克算子，成为研究模形式（theory of modular forms）的重要工具。后来应用模形式研究正定二次型的算术理论。
Hecke算子是研究模形式的重要工具。完全模群Γ的模函数空间上的Hecke算子简称为完全模群Γ上的Hecke算子。
Hecke算子是模形式空间的一类重要的线性算子。
内容简介
本书向读者介绍了构成代数数论理论框架的一般问题的一个理解，从数学特别是算数的发展中引出结论，并用群论的术语与方法给出关于有限与无限阿贝尔群的必要定理， 导致了形式上与概念上相当的简化；给出了任意代数数域中最一般二次互反律一个新证明，并给出了相对二次类域存在性的证明。
序
这本书是根据我在巴塞尔、哥廷根与汉堡的若干次讲课材料写成的，其目的在于向没有任何数论预备知识的读者介绍构成近代代数理论框架的一般问题一个理解。 前七章没有包含本质上新的东西；包括其形式在内，我从数学，特别是算术的发展中引出结论，并用群论的术语与方法给出关于有限与无限阿贝尔群的必要定理。我用戴德金的原始构造方法处理相对判别式理论（§36，38），及不用截塔函数决定类数（§50）。
最后一章，即第八章将引导读者至近代理论之高峰。这一章将给出任意代数数域中最一般二次互反律一个新的证明，其中用到西塔函数。作为互反定理的推论，在本书的结尾，我们将给出相对二次类域存在性的证明。
作为预备知识，我们仅要求读者具备初等微积分与代数知识，对于最后一章，则要求有复函数论知识。
埃里希·赫克
汉堡，数学讨论班，1923年3月
chap2 Abel群
§5一般群概念与群元素运算
群的定义
若当两个数同余modn，我们就把它们当成相等，则剩余系modn，对于加法复合就构成一个阶n的群。----(Z/(n))^+是Abel群
同法，与n互素的剩余系modn，对于乘法就构成一个阶为φ(n)的群。----U(Z/(n))是Abel群
§6子群及群被子群除
定理19：在一个阶为h的有限群G中，每一个子群G_1的阶N都是h的因子。
分数h/N=j称为子群G_1关于G的指标。
定理20：若a为A的阶，则A^m=A^n当且仅当m≡n(mod a)。
定理21：G的每一个元素A的阶a都是G的阶h的因子，所以对于每一个元素A皆有A^h=E。
§7 Abel群与两个Abel群之积
数论中遇到的群，其复合规律几乎都是可交换的：AB=BA对所有元素皆成立。这种类型的群称为Abel群。以下，我们用G表示一个阶为h的有限Abel群。
定理22：若一个素数p能整除G的阶h，则在G中有一个阶为p的元素。
定理25：每一个有限Abel群可以表示为素数幂的Abel群之积。
§8 Abel群的基
定理26（Abel群的基本定理）：在每个阶h(>1)的Abel群G中，……，这种类型的r个元素称为G的一个基。
如果一个Abel群的所有元素都是一个元素A的幂，则这个群称为循环群及A称为群的生成元。
§9 陪集的复合与商群
若G_1为Abel群G的子群，则其本身亦是Abel群， 然后由G_1给出另一群如下。由§6知陪集AG_1是由G_1惟一确定的。陪集的个数为h/N，此处N是G_1的阶。
所以陪集R构成一个阶为h/N的Abel群。
定义：由这一途径定义的群R称为G_1的商（因子）群，其阶等于G_1的指标，我们记为R=G/G_1。
§10 Abel群的特征
于是产生这样的问题，是否可以将Abel群的研究完全转化为数的问题，或者是下面类型问题：
对于Abel群的每个元素A，可以用这样的方法指定一个数，记为χ(A)，即对于G的每两个元素A，B，χ(A)·χ(B)= χ(AB)。从而元素的复合就对应于指定数的乘法了。
定理30：正好有h个不同的函数χ(A)，它有这样的性质： χ(AB)=χ(A)·χ(B)及χ(A)对于G的所有元素都≠0。每个χ是一个h次单位根。
每一个这种函数都称为G的群特征或特征（或特征标）。
在诸特征χ(A)中有一个特征, 它对所有A皆有χ(A)=1；它称为主特征。反之，正好存在一个的元素，即E，使对于每一个特征皆有χ(E)=1。
§11 无限Abel群
在一个无限Abel群中，按照元素的某个幂等于E或否开区分它为有限阶或无限阶——自然要讲零次幂排除掉。以后将举例阐明，一个无限群可以只有无限阶（E除外）元素或只有有限阶元素。
在无限Abel群中，若除E之外再无有限阶元素，则具有首要的兴趣。我们称这种群为无挠群，否则就称为混合群。
chap3 有理数论中的Abel群
§12 在加法与乘法下的整数群
<Z,+>构成一个无限Abel群，单位元素是数零：a+0=a。仅含一个基元素的无挠群，从而它是一个循环群。一个模的整数显然亦构成一个Abel群，而实际上它是<Z,+>的一个子群。在早先定理2中，我们已经证明过的，关于模的性质可以用群论的术语表述于下：每一个无限循环群的子群仍为一个循环群。
----以下的研究对象实际上就是剩余类环（含有限域）的乘法群
定理41：完全剩余类modn系关于乘法复合不构成一个群，但在乘法复合下与n互素的φ(n)个剩余类构成一个Abel群。命这一群简单地成为“剩余类modn群”并将它记为R(n)，单位元素为包含1的剩余类。
由这一事实，我们立即退出作为群论定理21[应该是41吧]的推论的费马[小]定理：若(a,n)=1，则A^φ(n)=E或a^φ(n)=1(mod n)。
§13 与n互素的剩余类modn的群R(n)之结构
定理42：假定(n_1,n_2)=1，n=n_1·n_2，则R(n)=R(n_1)R(n_2)
定理43：若p为一个素数，则剩余类modp群R(p)是一个阶为p-1的循环群。
定理44：若p是一个奇素数，则模每一个p^a的剩余类都是循环群。
§14 幂剩余
借助于以前的定理，幂剩余的理论基础即形如x^q≡a(mod n)----（25）的二项同余式可解性。
§15 数modn的剩余特征
§16 二次剩余特征modn
chap4 数域的代数
§17 数域，数域上的多项式及不可约性
定义：若一个复数系包含多于一个数并且a与b属于这个数系，则a+b,a-b,ab与a/b，其中b≠0，亦然，则这一数系称为一个数域（或简单地称为域）。
克罗内克用术语有理域来代替域。数系包含多于一个元素这一附加条件仅仅在于排除只含有一个零元素的数系。这一数系仍满足定义中的其他条件。
域的概念与群的概念是相关的。由定义可知域的数在加法复合之下构成一个无限Abel群。进而言之，除0之外，域的元素在乘法复合之下亦构成一个Abel群。
数域的例子有：
Q
R
C
所有形如R(ω)的数系，此处R(x)过所有有理系数的有理函数，其中ω为一个固定的数。
由于a/a=1，所以每一个域都含有1，从而也有1+1=2，1-1=0等等。因此它包含全体有理数，我们将它记为k(1)并称之为有理性绝对域，这一域包含于每一个数域之中。
现在命k为任意数域，一个系数取自k的多项式称为k上的一个多项式。两个k上的多项式的商称为一个k上的有理函数。若f(x)与g(x)为k上的多项式，众所周知，若g(x)的次数至少为1，则可以决定两个多项式q(x)与r(x)使f(x)=q(x)g(x)+r(x)----（32），此处r(x)的次数小于g(x)的次数，我们称r(x)为f(x)modg(x)的剩余。q(x)与r(x)的系数完全可以由f(x)与g(x)经有理运算来求得，从而其系数亦属于k。若r(x)=0，则称f(x)可以被g(x)整除或g(x)除得尽f(x)，用记号g(x)|f(x)来表示。若在（32）中f(x)的次数m小于g(x)的次数n，则q=0及r(x)=f(x)。另一方面，若m>=n，则q(x)的次数等于m-n，q(x)非0，及r(x)的次数<n，所以如果两个多项式f(x)与g(x)中每一个都可被另一个整除，则它们只相差一个常数因子。任何多项式f(x)的平凡因子就是常数，即0次多项式与cf(x)。一个一次多项式c(x-a)除平凡因子外，没有其他因子。由代数基本定理可知每一个n次多项式都可以惟一分解为n个一次因子：f(x)=c(x-a_1)(x-a_2)…(x-a_n)，此处c为异于零的常数及a_1，…，a_n为n个相同的或相异的复数。因此如果我们允许多项式有任意系数，则在可除性研究中0次多项式与单位±1具有同等的作用，及1次多项式有与素数同样的作用。
如果我们仅限制一个固定数域k上的多项式，则这些关系就完全不同了。若f(x)不能分解为k上两个多项式之乘积，其中没有一个为常数，则称f(x)为k上不可约的，或不可分解的。
从而，例如，每一个k上一次多项式都是k上不可约多项式。由于基本定理并不给出f(x)的根a是否属于k，所以高次多项式亦可能在k上既约。例如x^2+1显然在有理数域上既约。为此，我们必须避开多项式在k上既约的准确性质问题。这不在此讨论，而仅满足于它们的存在性。
关于k上的多项式的最重要的事实为下面定理：
定理48：k上任意两个非零多项式f_1(x)与f_2(x)，皆有一个惟一决定的最大公因子d(x)，即有一个首项系数为1的多项式d(x)，使d(x)|f_1(x)，d(x)|f_2(x)，而且每一个整除f_1(x)与f_2(x)的多项式亦整除d(x)。
我们记(f_1(x),f_2(x))=d(x)及若d=1，则称f_1(x)与f_2(x)互素。
由定理48，我们立即得到
定理49：若多项是f(x)在k上是不可约的，它与k上的一个多项式f(x)有一个公共的零点x=a，则f(x)为g(x)的一个因子，从而f(x)的所有零点都是g(x)的零点。
特别一个k上不可约n次多项式必定正好有n个相异根，否则它与其导数f'(x)有一个公因子。f'(x)亦是k上的多项式，但其次数为n-1，从而f(x)可以整除f'(x)，这不可能。
§18 k上的代数数
假定数θ是k上多项式P(x)的一个根。在所有首项系数为1的k上多项式、并以θ为其根者之中必有一个最低次数的。这个多项式在k上必须是不可约的——否则θ将是这一多项式的一个因子的根——因此由定理49，这一多项式由θ和k就完全确定了。
这个多项式的次数n称为θ关于k的次数或θ的相对次数。这一多项式的n个根θ_1,θ_2,…,θ_n——的确是彼此相异的——称为θ关于k的共轭或θ的相对共轭。每一个数θ_i都称为k上的代数数。若k=k(1)为有理数域，则在记号中可以略去k。特别若θ是有理系数多项式的一个根，则称θ为代数数。 
定理50：若a，b为k上的代数数，则a+b，a-b，ab，及当b≠0时a/b都是代数数。
§19 k上的代数数域
k上的每一个代数数θ显然生成一个域，即系数属于k的θ的有理函数全体。命这一域记为K(θ;k)或更简单地记为K(θ)。同样，域K(a,b,c,…;k)其元素为系数属于k的a，b，c，…的有理函数。
定理52：添加多个k上代数数至k上所得的域亦可由k添加一个代数数而生成。
chap7二次数域
§44梗概与理想类系
二次域作为一个例子已经在§29中处理过了，在这一章中，我们将作更详细的讨论。
chap8任意代数数域中的二次互反定律
§54二次剩余特征及任意代数数域中的高斯和
在决定二次域的类数时，我们第一次遇见了高斯和。在许多其他问题中亦遇到这种类型的表达式，而高斯是第一个认识到这些和在数论中的极端重要性。他的注意力集中在这些和与二次互反定律的联系及他阐明了二次互反定理的一个证明是怎样从这些和的值的决定而得到的。
任意代数数域上的高斯和的概念是作者于1919年形成的。实际上，决定高斯和值的柯西方法可以推广，从而导出对于每一个代数数域二次互反定理的超越证明。
若k中一个整数或一个整理想与2互素，则称为奇的。

数论1Fermat的梦想和类域论(英文版)http://www.docin.com/p-35635604.html
塞尔数论教程 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/7920818.html?from=like
A course of Arithmetics
Weil的数论讲义(简介历史)http://www.docin.com/p-466856809.html
韦伊心目中17-20世纪上半叶最伟大的数论学家有20位，按出生年月排序分别是：费马（1601-1665），欧拉（1707-1783），拉格朗日（1736-1813），勒让德（1752-1833），高斯（1777-1855），狄利克雷（1805-1859），库默尔（1810-1893），埃尔米特（1822-1901），爱森斯坦（1823-1852），克罗内克（1823-1891），黎曼（1826-1866），戴德金（1831-1916），海因里希·韦伯（1842-1913），亨泽尔（1861-1941），希尔伯特（1862-1943），高木贞治（1875-1960），赫克（1887-1947），老阿廷（1898-1962），哈塞（1898-1979），谢瓦莱（1909-1984），其中法国5人，德国12人，瑞士1人，奥地利1人，日本1人。
数论经典著作：
狄利克雷-戴德金的数论讲义，1879年第三版，1894年第四版
哈塞的数论(H.G. Zimmer英译)，1950年数论讲义，1963年数论第2版
【哈塞简介】
德国数学家海尔姆特·哈塞（Helmut Hasse，1898.8.25-1979.12.26）
1898年8月25日，生于德国卡塞尔。
1918年一战后，就读于哥廷根大学，师从兰道、希尔伯特、埃米·诺特、赫克等人，其中赫克对他影响最大。
因对库尔特·亨泽尔创造的p进数极感兴趣，
1920年转到马尔堡大学，在亨泽尔指导下，
1921年，获博士学位。
1922年，任基尔大学讲师，
1925年，为哈雷大学正教授，得到了局部域上中心单代数结构的基本结果。
1930年，继亨泽尔为马尔堡大学教授。
1931年，同布饶尔和埃米·诺特一起证明代数的主定理。
1933年，希特勒上台后，外尔辞去了哥廷根的职务，哈塞回到格丁根大学任教授。次年任哥廷根大学数学研究所所长。
1935-1936年，证明椭圆曲线函数域上的黎曼猜想（阿廷猜想）。
1937年，申请加入纳粹党。
1939-1945年，在柏林德国海军的研究机构中从事应用数学研究。
二战后被格丁根大学解职。
1946年，在柏林科学院取得了一个研究职位。
1948年，才在柏林大学（东柏林的洪堡大学）恢复教授职位。
1950年，移居汉堡。
1950-1966年，在汉堡大学直至退休。
1979年12月26日，去世。
哈塞发现了现今的的Hasse principle, or "local-global" principle：
Q_p和R称为局部域，Q称为整体域。
亨泽尔约在1899年发现了p进数，并用于二次型理论。由此导致赋值论和局部域理论的发展。
亨泽尔的学生哈塞发展了p进数理论，二人确立了代数数论中关于二次型的著名的哈塞原理或“局部-整体”原理：二次型在整体域Q中有根当且仅当在每个局部域Q_p和R均有根。
虽然对于二次型以外的数学对象，哈塞原理不一定成立，但在局部域上的研究通常都会提供有用的信息用于整体域上的研究。上述有理数域Q的p进赋值和完备化理论，可以推广到一般数域上。由此，赋值论和局部域后来成为代数数论的基本语言和方法，并导致伊代尔（Idele）和阿代尔（Adele）这两个重要概念的引入。
Part I.有理数域的算术基础
Chapter 1 素数分解
Chapter 2 可除性
Chapter 3 同余
Chapter 4 模m剩余类环和模m简化剩余类群的结构
Chapter 5 二次剩余
Part II. 赋值域理论
Chapter 6 The Fundamental Concepts Regarding Valuations
Chapter 7 离散赋值域的算术
Chapter 8 赋值域的完备化
Chapter 9 离散赋值域的完备化，p进域
Chapter 10 The Isomorphism Types of Complete Discrete Valued Fields with Perfect Residue Class Field
Chapter 11 Prolongation of the Discrete Valuation to a Purely Transcendental Extension
Chapter 12 Prolongation of the Valuation of a Complete Field to a Finite Algebraic Extension
Chapter 13 The Isomorphism Types of Complete Archidemean Valued Fields
Chapter 14 The Structure of a Finite-Algebraic Extension of a Complete Discrete Valued Field
Chapter 15 The Structure of the Multiplicative Group of a Complete Discrete Valued Field with Perfect Residue Class Fields of Prime Characteristic
Chapter 16 The Tamely Ramified Extension Types of a Complete Discrete Valued Fields with Finite Residue Class Field of Characteristic p
Chapter 17 The Exponential Function, the Logarithm, and Powers in a Complete Non-Archimedean Valued Field of Characteristic 0
Chapter 18 Prolongation of the Valuation of a Non-Complete Field to a Finite-Algebraic Extension
Part III. 代数数域的算术基础
Chapter 19 Relations Between the Complete System of Valuations and the Arithmetic of the Rational Number Field
Chapter 20 Prolongation of the Complete System of Valuations to a Finite-Algebraic Extension
Chapter 21 The Prime Spots of an Algebraic Number Field and their Completions
Chapter 22 Decomposition into Prime Divisors, Integrality, and Divisibility
Chapter 23 Congruences
Chapter 24 The Multiples of a Divisor
Chapter 25 Differents and Discriminants
Chapter 26 二次数域
chap5二次域的算术
除了有理数域之外，最简单的是二次代数数域。本章就是要较为详细的讨论二次代数数域——或更确切地说是二次代数整数环中的算术，并给出它们在Z中的不定方程、Z中的四次、三次互反律上的应用。从本章内容可以看出代数数论的研究是十分困难的，即使是在这最简单的情形，我们也得不到什么结果，许多问题都无法解决。同时也看到在有理整数环Z中的一些算术问题必须在更高次的代数整数环中来考察才可能搞清楚，所以代数数论的研究是十分重要的。
§5.1基本性质
定义1：设F是一个二次域，那么一定存在一个无平方因数的有理整数d≠0,1，使得F=Q(sqrt(d))。
----由定义知F=Q(a)，a∈A_2
当d>0时，称Q(sqrt(d))是实二次域；当d<0时，称Q(sqrt(d))是虚二次域。显见，a∈Q(sqrt(d))的充要条件是a=r+sqrt(d),r,s∈Q。
定理2：二次域Q(sqrt(d))的代数整数环O_( Q(sqrt(d))) 是二次代数整数环Z[sqrt(d)]的充要条件是d≡2,3(mod 4)。----代数数论与初等数论的联系
当d≡2,3(mod 4)时，1，sqrt(d)是Q(sqrt(d))的整基，而d≡1(mod 4)时则不是[仅是一组基]。
定理：当d≡2,3(mod 4)时，整基1，sqrt(d)的判别式△(1，sqrt(d))=4d；当d≡1(mod 4)时，整基1，-1/2+sqrt(d)/2的判别式△(1，-1/2+sqrt(d)/2)=d。二次域Q(sqrt(d))的整基的判别式都相等。
定义2：二次域Q(sqrt(d))的整基的判别式称为二次域Q(sqrt(d))的基数，记作△(sqrt(d))。
定理6：设Q(sqrt(d))是单域，e表单位数。那么，对任一有理素数p，以下三种情形有且仅有一种成立：（1）p在二次单域Q(sqrt(d))中是分歧的；（2）p在二次单域Q(sqrt(d))中是分裂的；（3）p在二次单域Q(sqrt(d))中是惯性的。
定理8：设△=△(sqrt(d))是二次域Q(sqrt(d))的基数，那么下面定义的χ(n)是模|△|的实特征，χ(n)称为二次域Q(sqrt(d))的特征（标）或克罗内克特征，也叫克罗内克符号，记作(△|n)。当Q(sqrt(d))是单域时，则正的有理素数p是分歧的当且仅当χ(p)=0；p是分裂的当且仅当χ(p)=1；p是惯性的当且仅当χ(p)=-1。
Chapter 27 分圆域
Chapter 28 单位
若u是K中的整数，1/u也是K中的整数，则称u是K的单位（这相当于u满足一个有理整数系数的多项式方程，其最高项和常数项系数均为1）。K的单位全体U(K)是一个乘法群，称为K的单位群，是一个有限生成的阿贝尔群，扭部分是K中单位根全体所成的群，自由部分的秩为r=r_1+r_2-1，其中r_1和2r_2是K到复数域的实和虚嵌入个数。
Chapter 29 类数
类数h(K)的研究很重要。
若p次分圆域Q(ζ_p)的类数为1，或不是p的倍数，则费马大定理对n=p成立。
数域K的理想类群H(K)和理想类数h(K)是代数数论的重要研究对象。
（理想）类群H(K)=I(K)/P(K)定义为K的（分式）理想群I(K)对主理想群P(K)的商群。
P(K)称为K的全部主理想（主理想即是由一个元素生成的理想），
（理想）类数h(K)是H(K)的元素个数，是有限正整数。
----环O_K的理想、主理想->域K的理想、主理想？？
----K中的理想全体不构成群，但构成一个半群
----从一个半群构造出一个群的过程类似于从整数环的乘法半群构造出有理数乘法群的过程
O_K的理想全体是素理想生成的乘法半群，其分式理想全体I(K)是一个乘法群，称为K的理想群。
Chapter 30 Approximation Theorems and Estimates of the Discriminant Index of Names Subject Index

chap6算术级数中的算术定理
本节的目的是要证明如下的定理，这个定理是由勒让德猜想（和使用）而由狄利克雷证明的。
定理：设a和m是互素的两个自然数，则存在无限多个素数p≡a(mod m)。
我们采取的方法是利用L函数的一些性质（这正是狄利克雷本人的方法）。
§1有限Abel群的特征
1.1对偶性
设G为有限Abel群，其运算写成乘法。
定义1：G的特征是G到复数乘法群C^*中的同态。
G的全部特征形成群Hom(G,C^*)，我们写成^G，叫做G的对偶。
1.3模特征
设m>=1为整数，以G(m)表示环Z/mZ的可逆元所构成的乘法群(Z/mZ)^*。这是φ(m)阶Abel群，其中φ(m)是m的欧拉φ函数。