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ε ± ∽ ∝ ≠ ∞ ∑ ∏ π √ ≥ → ∞ φ

答邹连科先生之问

相邻两个素数之差的最大值

摘要：设偶数N>4。素数定理描述了区间(0，N)上，素数分布的平均间隔渐近于 N/lnN 。

但是，区间(0，N)上，

(1)两个相邻素数之差的最大值和最小值是多少？

(2)是否存在关于 对称分布的素数？仍无定论。

本文对如何确定两个相邻素数之差的最大值问题，予以探讨论证。

关键词：相邻素数之差，最大值

一， 符号，概念，定义，

1，素数序列：p1=2，p2=3，p3=5，...；

2， 素数阶乘Pm!：小素数序列的连乘积！Pm!= ∏p=2*3*5*...*Pm；

3， Pi 合数：若合数C的最小素因子是Pi，则合数C的属性，称为【Pi合数】。

例：

4，6，8，10，12，14，16，18，...；是【偶合数】序列；

9，15，21，27，33，39，45，...；是【3合数】序列；

25，35，55，65，85，95，115，...；是【5合数】序列；

49，77，91，119，133，161，203，...；是【7合数】序列；

...

Pi^2，PiPi+1，PiPi+2，...；是【Pi合数】序列。

4，数轴上，由若干合数形成的连续自然数序列，称为【连续合数段】。

二， 若干引理

引理1，任意 【Pi合数】序列中，相邻元素的最小间隔都是2Pi。

引理2，在数轴上，由【偶合数】、【3合数】、【5合数】、...；共同构成的【连续合数段】的

【中心值】存在两个类型：

(1)【偶合数型中心值】Z2=2x，【连续合数段】的元素个数是 y=4n+1；

例：【偶合数】构成的【连续合数段】：11，(12)，13，Z2=12；

【偶合数】、【3合数】、【5合数】共同构成的【连续合数段】：

23，(24，25，26，27，28)，29；Z2=26；

【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】：

199，(200，201，202，203，204，205，206，207，208)，209；Z2=10；

(2)【3合数型中心值】Z3=3x ，【连续合数段】的元素个数是 y=4n+3 ；

例：【偶合数】、【3合数】共同构成的【连续合数段】：13，(14，15，16)，17；Z3=15；

【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】：

89，(90，91，92，93，94，95，96)，97；Z3=93；

引理3，素数 Pi整除【中心值Z】时，【连续合数段】中的【Pi合数】元素最多。

根据引理1易知。

引理4，i >= 3时，分别以素数 2，3，5，...，Pi; 为最小素因子的合数，共同构成的【最大】【连续合数段】，

【中心值】的类型是【偶合数型中心值】：Z2=2x ；并且2*3*5*...*P(i-1) | x 。

证：根据引理3，素数2<= P <=P(i-2) ，满足P|Z2 时，使得【连续合数段】在的两侧双向对称延伸。

当P(i-1) | Z2 - 1 ，Pi | Z2 + 1；或者P(i-1) | Z2 + 1，Pi | Z2 - 1 时，【连续合数段】的长度必然取得最大值。

证毕。

引理5，i >= 3时，分别以素数2 ，3，5，...，Pi为最小素因子的合数，共同构成的【次大】【连续合数段】

【中心值】的类型是【3合数型中心值】：Z3 = 3x ；【连续合数段】的【端点】合数元素C，形如

C =( 2*3*5*...*P(i-1)) x；并且 Pi | (C - 1) 或者 Pi | (C+1)。

【次大】【连续合数段】的长度是 d = Pi + 1

根据素数的形成规律及其由小到大的单向延伸性质易知。

引理6，在数轴上，仅有【偶合数】元素构成的【连续合数段】长度等于2。

引理7，在数轴上，由【偶合数】与【3合数】共同构成的【连续合数段】长度等于4。

证：由于

【偶合数】序列的元素间隔是2，

【3合数】序列的元素间隔是6；

【偶合数】与【3合数】共同构成的【连续合数段】【恰好】包含3个合数元素

(其中2个【偶合数】、1个【3合数】)。

知：在数轴上，包含3个合数元素的间隔长度是4。

例1：7，(8，9，10)，11； 11-7=4

例2：13，(14，15，16)，17； 17-13=4

引理8，在数轴上，由【偶合数】、【3合数】、【5合数】共同构成的【连续合数段】长度的值等于6。

证：由于

【偶合数】序列的元素间隔是2，

【3合数】序列的元素间隔是6，

【5合数】序列的元素间隔最小值是10；

【偶合数】、【3合数】、【5合数】共同构成的【连续合数段】【恰好】包含5个合数元素

(其中3个【偶合数】、1个【3合数】、1个【5合数】)。

在数轴上，包含5个合数元素的间隔长度是6。

例1：23，(24，25，26，27，28)，29； 29-23=6

例2：31，(32，33，34，35，36)，37； 37-31=6

引理9，在数轴上，由【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】

长度最大值等于10。

证：由于

【偶合数】序列的元素间隔是2，

【3合数】序列的元素间隔是6，

【5合数】序列的元素间隔最小值是10，

【7合数】序列的元素间隔最小值是14；

【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】中，根据引理1、引理2知，

【偶合数型中心值】的【连续合数段】包含的合数元素【最多】。

包含9个合数元素(其中5个【偶合数】、2个【3合数】、1个【5合数】、1个【7合数】)。

在数轴上，包含9个合数元素的间隔长度是10。

【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】的【中心值】是Z，

知：【连续合数段】的【最大结构形式】是：

Z2 = 6x ；5 | Z2 - 1，7 | Z2 + 1；或者 5 | Z2 + 1，7 | Z2 - 1；

Z2-5，(Z2-4，Z2-3，Z2-2，Z2-1，Z2，Z2+1，Z2+2，Z2+3，Z2+4)，Z2+5

D=(Z2+5)-(Z2-5)=10

证毕。

三，命题、推论

命题：一般的，设素数Pn，不超过 √Pn 的最大素数是Pm，则D=P(n+1) - Pn < = 2Pm 。

证：根据引理1推知，由【偶合数】，【3合数】，...，【Pm合数】，【P(m+1)合数】共同构成的

【连续合数段】的最大结构形式是：

Z2 = 2*3*5*...*P(m-1)

Pm | Z2 - 1，P(m+1) | Z2 + 1；或者Pm | Z2 + 1，P(m+1) | Z2 - 1

这个最大结构的长度是 2Pm

可见，与素数Pn相邻的下一个素数P(n+1)的值，必然满足：P(n+1) <= Pn + 2Pm。

即D=P(n+1) - Pn <= 2Pm

证毕。

推论1：设素数Pm < √Pn是最大素数，两个相邻的素数区间(Pn，P(n+1))上，

至多存在一个【最小素因子大于Pm的】 合数C。

证：在区间(Pn，P(n+1))上，若存在两个最小素因子大于Pm的合数C1 ，C2；

不妨设：

C1=(P(m+1))^2

C2=(P(m+1))(P(m+2)>=(P(m+1))(2+P(m+1))=(P(m+1))^2 + 2P(m+1)

显然：C2 - C1 >= 2P(m+1

可见，合数C2不在区间(Pn，P(n+1))内，知推论为真。

证毕。

推论2，设素数Pm < √Pn是最大素数，则当Pm>7时，两个相邻的素数区间(Pn，P(n+1))上，

不存在由【偶合数】、【3合数】、【5合数】、...、【Pm合数】、【Pm+1合数】共同构成的

【最大连续合数段】。

证：根据Pm>7 时， 2*3*5*...*P(m-1) > (P(m+2))^2 > P(n+1) 易知：Pm > 7时，必有

D = P(n+1) - Pn < 2Pm

证毕。

四， 确定【最大连续合数段中心值】的方法

根据【偶合数】、【3合数】、【5合数】、...、【Pm合数】、【P(m+1)合数】共同构成的

【最大连续合数段】的结构特征，及【中心值Z2】的形式，求解Z2的方法有

(1)运用中国剩余定理，解一次同余式组

(2)解一次不定方程：Z2 = (2*3*5*...*P(m-1)) x

(2*3*5*...*P(m-1)) x - (Pm) y1 = -1，(2*3*5*...*P(m-1)) x - (P(m+1)) y2 = 1；或者

(2*3*5*...*P(m-1)) x - (Pm) y1 = 1，(2*3*5*...*P(m-1)) x - (P(m+1)) y2 = -1

一个例子：

求最小素因子是2，3，5，7，11的合数共同构成的最大【连续合数段】的中心值。

根据题意：P(m-1)=5，Pm=7，P(m+1)=11；运用方法(2)，解不定方程：

30x - 7y1 = -1， 解之可得 x = 4 + 7 k1 ；

30x - 11y2 = 1，解之可得 x = 4 + 11 k2；

公共解是x = 77k + 4；因为77 - 4 = 73，得到对称公共解是x*= 77k + 73 ；

Z2 = 30x = 2310k + 120 ;

Z2*= 30x*= 2310k + 2190

最大【连续合数段】的【最小】【中心值】是120：

114，115，116，117，118，119，(120)，121，122，123，124，125，126

参考资料：

1 初等数论： 潘承洞，潘承彪著 1997.6 月 北京大学出版社

2 组合数学： 屈婉玲 著 1997.9 月 北京大学出版社

3 王元论哥德巴赫猜想 李文林著 1999.9 月 山东大学出版社

4 数学与猜想 G.玻利维亚 2001.7 月 科学出版社

5 数论导引 哈代 著 2008.10 月 人民邮电出版社

6 华罗庚文集 2010.5 月 科学出版社

7 代数数论 冯克勤 著 2000.7 月 科学出版社