MSK调制是调制指数为0.5的二元数字频率调制，具有很好的特性，如恒包络、相对窄的带宽、并可以相干检测。MSK【最小频移键控】信号在任一码元间隔内，其相位变化为Π/2，而在码元转换时刻保持相位连续。

然而，MSK信号的相位变化是折线，在码元转换时刻会产生尖角，从而使其频谱特性的旁瓣降缓慢，带外辐射相对较大。移动数字通信中采用高速传输速率时，要求邻道带外辐射低于－(60~80)dB，而MSK信号不能满足功率谱在相邻信道的取值低于主瓣峰值60dB以上的要求，所以需寻求进一步压缩带宽的方法。

为了进一步改善MSK【最小频移键控】的频谱特性，有效的办法是对基带信号进行平滑处理，使调制后的信号相位在码元转换时刻不仅连续而且变化平滑，从而达到改善频谱特性的目的。

GMSK作为MSK的改进型，即是以高斯低通滤波器作为预调滤波基带滤波器的MSK方式，所以称为高斯MSK或GMSK。

2 code【附详尽注释】

% 附录：MATLAB程序
%绘制调制波形00101010
%
clear all;
close all;
 
%******************** Preparation part ************************************
% Ts=1/16000;            %基带信号周期为1/16000s,即为16KHz
 
Tb=1/32000;            %[码元]输入信号周期为Ts/2=1/32000s,即32KHz【奈奎斯特采样】
BbTb=0.5;              %取BbTb为0.5,调制指数为0.5的二元数字频率调制
Bb=BbTb/Tb;            %3dB带宽              -_-半带宽=码元频率一半-_-!
Fc=32000;              %载波频率为32KHz      -_-载波频率=码元频率-_-!
Fc_sample=64;          %每载波采样64个点
B_num=8;               %基带信号为8个码元
Dt=1/(Fc*Fc_sample);   %采样间隔[载波周期/采样点数][4.88281250000000e-07]
B_sample=Tb/Dt;        %每基带码元采样点数 B_sample=Tb/Dt[输入信号/采样间隔]
t=0:Dt:B_num*Tb-Dt;    %仿真时间离散点[采样间隔，码元数*（时间/码元）]
T=Dt*length(t);        %仿真时间值[采样间隔*512个采样点]
Ak=[0 0 1 0 1 0 1 0];        %产生8个基带信号[8个比特]
Ak=2*Ak-1;    %[多此一举]    %单极性码元—>双极性码元
gt=ones(1,B_sample);         %每码元对应的载波信号[1*64]
Akk=sigexpand(Ak,B_sample);  %码元扩展[64*8->1*512]
temp=conv(Akk,gt);           %码元扩展[卷积向量Akk和gt 512+64-1]
Akk=temp(1:length(Akk));     %码元扩展[取出temp变量中前512个，类似于银行存款，第一年存入的钱会一直享受利息值最后一年，第二年存入的钱会一直享受利息值最后一年]
 
%************************* Filter initialization **************************
 
tt=-2.5*Tb:Dt:2.5*Tb-Dt;   %{2.5*码元周期}/{采样间隔=[载波周期/采样点数]}
%g(t)=Q[2*pi*Bb*(t-Tb/2)/sqrt(log(2))]-Q[2*pi*Bb*(t+Tb/2)/sqrt(log(2))];
%Q(t)=erfc(t/sqrt(2))/2;
gaussf=erfc(2*pi*Bb*(tt-Tb/2)/sqrt(log(2))/sqrt(2))/2-erfc(2*pi*Bb*(tt+Tb/2)/sqrt(log(2))/sqrt(2))/2; 
%the complementary error function erfc(X) is defined as
%erfc=2/sqrt(pi)int_{x}^{+\infty}exp{-t^2}dt
J_g=zeros(1,length(gaussf)); %使J_g 的长度和Gaussf的一样
%************************ SUM GMSK ****************************************
 
for i=1:length(gaussf)  %320个点
    if i==1 
J_g(i)=gaussf(i)*Dt;          %若不乘以Dt,则最后结果要出错？
    else
J_g(i)=J_g(i-1)+gaussf(i)*Dt; %若不乘以Dt,则最后结果要出错？
end;
end;
 
J_g=J_g/2/Tb;    %若先前循环不乘以Dt,则最后结果要出错？
 
%******************** START CALCULATION ***********************************
 
%计算相位Alpha
Alpha=zeros(1,length(Akk));
k=1;  %计算第1个码元的相位
L=0;
for j=1:B_sample  %采样点数为64
J_Alpha=Ak(k+2)*J_g(j);  %第3码元对应乘以J_g矢量第j[1-64]个值
Alpha((k-1)*B_sample+j)=pi*J_Alpha+L*pi/2;% 刷新 Alpha512 中 1-64
end;
 
k=2;%计算第2个码元的相位
L=0;
for j=1:B_sample%采样点数为64
J_Alpha=Ak(k+2)*J_g(j)+Ak(k+1)*J_g(j+B_sample);%第3码元对应乘以J_g矢量第j[65-128]个值
%第4码元对应乘以J_g矢量第j[1-64]个值
Alpha((k-1)*B_sample+j)=pi*J_Alpha+L*pi/2;% 刷新 Alpha512 中 65-128
end;  
 
k=3;%计算第3个码元的相位
L=0;
for j=1:B_sample%采样点数为64
J_Alpha=Ak(k+2)*J_g(j)+Ak(k+1)*J_g(j+B_sample)+Ak(k)*J_g(j+2*B_sample);
%第3码元对应乘以J_g矢量第j[129-192]个值  
%第4码元对应乘以J_g矢量第j[65-128]个值
%第5码元对应乘以J_g矢量第j[1-64]个值
Alpha((k-1)*B_sample+j)=pi*J_Alpha+L*pi/2;% 刷新 Alpha512 中 129-192
end;  
 
k=4;%计算第4个码元的相位
L=0;%level为0，表示二进制相位轨迹，因而单位递增pi
for j=1:B_sample%采样点数为64
J_Alpha=Ak(k+2)*J_g(j)+Ak(k+1)*J_g(j+B_sample)+Ak(k)*J_g(j+2*B_sample)+Ak(k-1)*J_g(j+3*B_sample);
%第3码元对应乘以J_g矢量第j[193-256]个值
%第4码元对应乘以J_g矢量第j[129-192]个值
%第5码元对应乘以J_g矢量第j[65-128]个值
%第6码元对应乘以J_g矢量第j[1-64]个值
Alpha((k-1)*B_sample+j)=pi*J_Alpha+L*pi/2;% 刷新 Alpha512 中 193-256
end;
 
L=0;%level为0，表示二进制相位轨迹，因而单位递增pi
for k=5:B_num-2
    if k==5  %计算第5个码元的相位
L=0;
    else     %计算第6个码元的相位
L=L+Ak(k-3);  
end;
    for j=1:B_sample%采样点数为64
J_Alpha=Ak(k+2)*J_g(j)+Ak(k+1)*J_g(j+1*B_sample)+Ak(k)*J_g(j+2*B_sample)+Ak(k-1)*J_g(j+3*B_sample)+Ak(k-2)*J_g(j+4*B_sample);
%第3码元对应乘以J_g矢量第j[257-64*5]个值  |%第4码元对应乘以J_g矢量第j[64*4+1-64*5]个值|
%第4码元对应乘以J_g矢量第j[193-64*4]个值  |%第5码元对应乘以J_g矢量第j[193-64*4]个值   |
%第5码元对应乘以J_g矢量第j[129-64*3]个值  |%第6码元对应乘以J_g矢量第j[129-64*3]个值   |
%第6码元对应乘以J_g矢量第j[65-64*2]个值   |%第7码元对应乘以J_g矢量第j[65-64*2]个值    |
%第7码元对应乘以J_g矢量第j[1-64*1]个值    |%第8码元对应乘以J_g矢量第j[1-64*1]个值     |
Alpha((k-1)*B_sample+j)=pi*J_Alpha+mod(L,4)*pi/2;% 刷新 Alpha512 中 64*4+1 - 64*5
%相位变化+1*pi/2 % 刷新 Alpha512 中 64*5+1 - 64*6
end;
end;
 
%B_num-1;
k=B_num-1;%计算第7个码元的相位
L=L+Ak(k-3); %level=0  此时L=1+Ak(4)=1-1=0
for j=1:B_sample%采样点数为64
J_Alpha=Ak(k+1)*J_g(j+B_sample)+Ak(k)*J_g(j+2*B_sample)+Ak(k-1)*J_g(j+3*B_sample)+Ak(k-2)*J_g(j+4*B_sample);
%第5码元对应乘以J_g矢量第j[64*4+1-64*5]个值   |
%第6码元对应乘以J_g矢量第j[64*3+1-64*4]个值   |
%第7码元对应乘以J_g矢量第j[64*2+1-64*3]个值   |
%第8码元对应乘以J_g矢量第j[64*1+1-64*2]个值   |
Alpha((k-1)*B_sample+j)=pi*J_Alpha+mod(L,4)*pi/2;%相位变化+0*pi/2 刷新 Alpha512 中 64*6+1-64*7
end;  
 
%B_num;
k=B_num;%计算第8个码元的相位
L=L+Ak(k-3);%level=1  此时L=0+Ak(4)=0+1=1
for j=1:B_sample%采样点数为64
J_Alpha=Ak(k)*J_g(j+2*B_sample)+Ak(k-1)*J_g(j+3*B_sample)+Ak(k-2)*J_g(j+4*B_sample);
%第6码元对应乘以J_g矢量第j[64*4+1-64*5]个值   |
%第7码元对应乘以J_g矢量第j[64*3+1-64*4]个值   |
%第8码元对应乘以J_g矢量第j[64*2+1-64*3]个值   |
Alpha((k-1)*B_sample+j)=pi*J_Alpha+mod(L,4)*pi/2;%相位变化+1*pi/2 刷新 Alpha512 中 64*7+1-64*8
end;  
 
% 基带波形+相位波形+GMSK波形
x=0;
subplot(311)
plot(t/Tb,Akk,t/Tb,x,’r:’);% [t/Tb]    %单极性码元—>双极性码元    Tb=64*Dt
%Tb:[码元]输入信号周期为Ts/2=1/32000s,即32KHz【奈奎斯特采样】
% t=0:Dt:B_num*Tb-Dt;    %仿真时间离散点[采样间隔，码元数*（时间/码元）]
% Dt=1/(Fc*Fc_sample);   %采样间隔[载波周期/采样点数][4.88281250000000e-07]
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’基带波形’);
 
subplot(312)
plot(t/Tb,Alpha*2/pi);
axis([0 8 min(Alpha*2/pi)-1 max(Alpha*2/pi)+1]);
title(’相位波形’);
 
S_Gmsk=cos(2*pi*Fc*t+Alpha);%载波频率+相位
subplot(313)
plot(t/Tb,S_Gmsk,t/Tb,x,’r:’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’GMSK波形’);
 
%解调 % 延迟1bt，移相pi/2  GMSK波形 + 相位波形 + GMSK波形
for n=1:512;  %延迟1bt，移相pi/2 GMSK波形
    if n<=B_sample  % n<64
Alpha1(n)=0;  % Alpha 前64 置0
    else
Alpha1(n)=Alpha(n-B_sample);%右移64
end
end
a=[0 1 1 1 1 1 1 1 ];
ak=sigexpand(a,B_sample); %码元扩展[8*64->1*512]
% Ak=[0 0 1 0 1 0 1 0]; %产生8个基带信号[8个比特]
% Akk=sigexpand(Ak,B_sample); %码元扩展[8*64->1*512]
temp=conv(ak,gt);         %码元扩展[卷积向量ak和gt 512+64-1]
ak=temp(1:length(ak));    %码元扩展[取出temp变量中前512个]
S_Gmsk1=cos(2*pi*Fc*(t-Tb)+Alpha1+pi/2).*ak; %延迟1Tb[一个码元周期],移相pi/2
figure
subplot(311)
plot(t/Tb,S_Gmsk1);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’延迟1Tb,移相pi/2 GMSK波形’);
 
xt=S_Gmsk1.*S_Gmsk;
subplot(312)
plot(t/Tb,xt);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’相乘后波形’);
 
%低通滤波
Fs=10000;     %采样频率【奈奎斯特准则】
rp=3;     rs=50; %通带纹波不超过rp dB 
%阻带衰减至少rs dB
wp=2*pi*50; ws=2*pi*800;% Passband corner frequency 通带截止频率
% Stopband corner frequency 阻带截止频率
[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,’s’) %巴特沃斯滤波器的阶数和截止频率
% 这个函数返回满足性能所需通带波纹和阻带衰减条件下的最低阶N及截止频率
% in which case Wp and Ws are in radians/second
 
% *****设计一个n阶巴特沃斯模拟低通滤波器。画出其幅度和相位响应*************
[z,p,k]=buttap(n); %Butterworth滤波器原型,返回零点、极点和增益
% H(s) = z(s)/p(s) = k/( (s-p(1))(s-p(2))(s-p(3))…（s-p(1)）)
[bp,ap]=zp2tf(z,p,k); %convert to transfer function form
[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wn);
[b,a]=bilinear(bs,as,Fs);
y=filter(b,a,xt);
subplot(313)
plot(t/Tb,y,t/Tb,x,’r:’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’经过低通滤波器后波形’);
 
for i=1:8
    if y(i*B_sample)>0  % 8*64 = 512
bt(i)=1
    else
bt(i)=0
end
end
bt=2*bt-1;  %解调，反向解码
btt=sigexpand(bt,B_sample);   %码元扩展
temp1=conv(btt,gt);           %码元扩展
btt=temp1(1:length(btt));     %码元扩展
figure
subplot(311)
plot(bt)
title(’抽样值’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
subplot(312)
plot(t/Tb,Akk,t/Tb,x,’r:’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’原基带波形’);
subplot(313)
plot(t/Tb,btt,t/Tb,x,’r:’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’解调后波形’);

title(’抽样值’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
subplot(312)
plot(t/Tb,Akk,t/Tb,x,’r:’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’原基带波形’);
subplot(313)
plot(t/Tb,btt,t/Tb,x,’r:’);
axis([0 8 -1.5 1.5]);
title(’解调后波形’);