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串级控制

背景：江湖上，串级大法传闻已久，经年习之，因内力浅薄而未得其髓。近日，闲来无事，重拾此法练之，似有所得。。。

一、为何要串级控制？

简单PID控制再熟悉不过：

G2是所谓控制器，N是干扰，力矩作用于机身产生转动角速度，角速度积分得角度。G2用PID，当然平衡补偿力矩那些已经消除。
传函：

显然，输出由输入之一部和干扰之一部组成，二者增益比

K越大则Θ_e越明显，噪声N越不明显。是否串级控制表现更佳，又是何道理？

二、串级控制

同样研究传递函数

增益比

到这里《自动控制原理》上说通常满足

就完了，让人浮想联翩。

三、对比

拿四旋翼举例。按照通俗的控制变量法，让单级和串级的输入、噪声、系统响应都一样，都采用PD控制（单级参数为P和D，串级参数为P_1, D_1, P_2, D_2），来对比单级和串级的增益比。
明确四旋翼从力矩到角速度的传递函数：

其中J是转动惯量；
单级（控制）对θ_e的传递函数：

串级对θ_e的传递函数：

然而无论如何也找不到P、D参数使得

一度让人想用平方逼近让二者近似相等。。。但是考虑只P控制的情况马上就豁然开朗了：

显然根本不存在使他们相等的控制参数，更不用说PD的情况了。继续求出单位冲击响应：


画出二曲线：

发现：单级控制之单位冲击响应无衰减项，为等幅振荡；而串级有指数衰减项，衰减速度与P_2有关，坚决印证这两个不可能相等，更不存在近似之可能。同样是P控制，看来串级生来就稳定。
再看控制框图，单级如果用PD，可以写出控制器输出的控制量

串级用P控制时控制器的输出量：

哇！这两个co可以说是一个模子里出来的了！单级控制量co仅比串级多了一项θ_e’D，即输入的导数项。这也是我经常不加思索写到程序中的控制方法。
之前听晨飞兄说：外环乘P直接给内环，也就是乘P得到角速度期望，内环用PD控制响应该期望即为内外环。根据之前推导的四旋翼位置控制的理解：姿态确定，位置一定是可以确定的；在此类似：角速度确定，姿态角度一定是确定的，只不过位置控制中姿态的意义很明显，可以一眼看穿，而角速度不易用肉眼看出。
再思之，单环PD控制抛开θ_e’D就是串级P控制，为啥呢，外环微分就是内环变量，角度微分就是角速度；更进一步，内环角速度的PD还可以分解成以角速度为外环，角加速度为内环的串级P控制，如下图所示，也就是说全是P控制即可。

这样一说，比较单级和串级的噪声抑制比或控制效果就不能以同P或PD控制为准了。虽然单环PD等效于串级P，四旋翼有角速度传感器（陀螺仪）可用串级，但是角加速度就无传感器可测了，所以角速度控制用的PD控制，说明D控制项可以帮助我们深入到内部状态量不可测的时候；另一个问题是无处不在的干扰（噪声），D项是微分（实际控制中一般用差分）增益，噪声可能因微分作用而明显，导致控制效果差，这里可以把卡尔曼的噪声理论纳入进行透彻分析。

总结

一言蔽之：不存在孰优孰劣的问题，而是适合与否。