• 第 1 列的全部的 1，其实可视为，各个数的 0 次幂；
• 最后计算乘积时，是右侧的减去左侧，下侧的减去上侧的；

0. 范德蒙行列式的证明

数学归纳法，$D2$ 显然成立，当 $D_{n-1}$ 也成立时，$D_{n}$ 是否成立？

$$D_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&\ldots&1\\ a_1&a_2&a_3&\ldots&a_{n}\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\ldots&a_{n}^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\ldots&a_{n}^{n-1}\\ \end{vmatrix}$$

然后对 $D_{n}$ 进行整理，从最后一行开始，$r_n:=r_n-a_1\cdot r_{n-1}$（下一行 := 下一行 - $a_1$上一行），因此往上：

$$D_n==\begin{vmatrix} 1&1&1&\ldots&1\\ 0&a_2-a_1&a_3-a_1&\ldots&a_{n}-a_1\\ 0&a_2^2-a_2a_1&a_3^2-a_3a_1&\ldots&a_{n}^2-a_na_1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a_2^{n-1}-a_2^{n-2}a_1&a_3^{n-1}-a_3^{n-2}a_1&\ldots&a_{n}^{n-1} \end{vmatrix}=(a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots (a_n-a_1)\Pi_{2\leq j\lt i\leq n}(x_i-x_j)$$

得证；

1. 镶边法计算准范德蒙行列式

试计算如下行列式：

$$\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^4&b^4&c^4&d^4 \end{vmatrix}$$

长得太像范德蒙行列式了，做如下镶边：

$$\begin{vmatrix} 1&1&1&1&1\\ a&b&c&d&x\\ a^2&b^2&c^2&d^2&x^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3&x^3\\ a^4&b^4&c^4&d^4&x^4 \end{vmatrix}$$

因此整个行列式的值为：
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)$，此时，我们仅看 $x^3$ 项的系数（负的原行列式的值），$(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)$