转矩方程与电流方程

$$\begin{array}{l}{T}_e=f(I_{sd},I_{sq})\\ I_s=L(I_{sd},I_{sq})\end{array}$$

求解方案有两种, 直接代入, 然后求一元方程导数， 求得驻点， 然后取得最值; 第二种采用拉格郎日乘数法.
本文推导第二种：拉格朗日乘数法。

其实就是求多元函数, 在D封闭区间的最值问题, 而MTPA要求的, 就是二元函数.

可以将$I_s=L(I_{sd},I_{sq})$看作封闭区间, 亦可以将$T_e=f(I_{sd},I_{sq})$看作封闭区间.

亦即, 给定T_e,能够求出最小的I_s; 或者给定I_s,能够求出最大的T_e
再根本, 我们要求的是Id与Iq的对应关系.

$$\begin{array}{l}{T}_e=\frac{3}{2}p({\phi }_f{I}_{sq}+(L_d-L_q)I_{sd}{I}_{sq})\\ {I_s}^2={I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2\end{array}$$

对上式, 分别对Isd、Isq求偏导
$$\begin{array}{l}\frac{\partial T_e}{I_{sd}}=\frac{3}{2}p(L_d-L_q)I_{sq}\\ \frac{\partial T_e}{I_{s\mathrm{q}}}=\frac{3}{2}p({\phi }_f+(L_d-L_q)I_{sd})\\ \frac{\partial I_s}{I_{sd}}=\frac{2I_{sd}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}\\ \frac{\partial I_s}{I_{s\mathrm{q}}}=\frac{2I_{sq}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}\end{array}$$
列出拉格朗日乘数法：
$$\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}p(L_d-L_q)I_{sq}+\lambda \frac{2I_{sd}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}=0\\ \frac{3}{2}p({\phi }_f+(L_d-L_q)I_{sd})+\lambda \frac{2I_{sq}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}=0\\ {I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2-{I_s}^2=0\end{array}$$
可以看出， 对子式1、子式2分别两端除以$\lambda$, 则从以I_s为D封闭区间转变为以T_e为D的封闭区间。
对上式求解
$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}p(L_d-L_q)I_{sq}+\lambda \frac{2I_{sd}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}=0\\ \frac{3}{2}p({\phi }_f+(L_d-L_q)I_{sd})+\lambda \frac{2I_{sq}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}=0\\ {I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2-{I_s}^2=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\frac{3}{2}p(L_d-L_q)I_{sq}{I}_{sq}+\lambda \frac{2I_{sd}{I}_{sq}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}=0\\ \frac{3}{2}p({\phi }_f+(L_d-L_q)I_{sd})I_{sd}+\lambda \frac{2I_{sd}{I}_{sq}}{\sqrt{{I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2}}=0\\ {I_{sd}}^2+{I_{sq}}^2-{I_s}^2=0\end{array}\\ ((L_d-L_q){I_{sq}}^2-({\phi }_f{I}_{sd}+(L_d-L_q){I_{sd}}^2)=0\\ (L_d-L_q)({I_{sq}}^2-{I_{sd}}^2)={\phi }_f{I}_{sd}\\ \frac{({I_{sq}}^2-{I_{sd}}^2)}{I_{sd}}=I_{sq}=\sqrt{{\phi }_f\frac{1}{(L_d-L_q)}{I}_{sd}-{I_{sd}}^2}\\ 0={\phi }_f\frac{1}{(L_d-L_q)}{I}_{sd}-{I_{sd}}^2-{I_{sq}}^2\end{array}$$
根据上式， 则可以求出：
$$I_{sd}=-\frac{{\phi }_f}{2(L_d-L_q)}+\sqrt{{(\frac{{\phi }_f}{2(L_d-L_q)})}^2-{I_{sq}}^2}$$
可以从式清晰地看出， 上式成立，需要满足以下条件
$$\{\begin{array}{l}{L}_d\ne L_q\\ (\frac{{\phi }_f}{2(L_d-L_q)}{)}^2>{I_{sq}}^2\end{array}$$

备注：

• 需要明确指出的是， L_d和L_q 都极可能随着电机运行工况而变化， 所以， 工程中的直接使用的可用性不高。
• 更常见的是使用查表法