一个应用范德蒙行列式的例子

问题

在实数域上线性空间 $C[−π,π]C[-\pi,\pi]$ 内判断下列向量组是否线性相关，并求它的秩： $1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx$

引理

设 $f_i(x)$ 是数域 $K$ 上的 $i$ 次多项式，其首项系数为 $ai(i=0,1,2,⋯,n−1)a_i(i=0,1,2,\cdots,n-1)$ .又设 $b1,b2,⋯,bnb_1,b_2,\cdots,b_n$ 是 $K$ 内一组两两互不相同的数。则下列 $n$ 阶矩阵： $[f0(b1)f0(b2)⋯f0(bn)f1(b1)f1(b2)⋯f1(bn)⋮⋮⋮fn−1(b1)fn−1(b2)⋯fn−1(bn)]\begin{bmatrix} f_0(b_1) & f_0(b_2) & \cdots & f_0(b_n) \\ f_1(b_1) & f_1(b_2) & \cdots & f_1(b_n) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_{n-1}(b_1) & f_{n-1}(b_2) & \cdots & f_{n-1}(b_n) \\ \end{bmatrix}$
满秩。

引理证明

记 $fi(x)=∑k=0n−1aikxi−kf_i(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{ik}x^{i-k}$ ,其中， $aik∈K,ai0=aia_{ik}\in K, a_{i0}=a_i$ 且 $i < k$ 时， $a_{ik}=0$ 。规定 $f_i(0)=0$ 。
有 $∣f0(b1)f0(b2)⋯f0(bn)f1(b1)f1(b2)⋯f1(bn)⋮⋮⋮fn−1(b1)fn−1(b2)⋯fn−1(bn)∣=∣∑k0=0n−1a0k0b10−k0∑k0=0n−1a0k0b20−k0⋯∑k0=0n−1a0k0bn0−k0∑k1=0n−1a1k1b11−k1∑k1=0n−1a1k1b21−k1⋯∑k1=0n−1a1k1bn1−k1⋮⋮⋮∑kn−1=0n−1an−1kn−1b1n−1−kn−1∑kn−1=0n−1an−1kn−1b2n−1−kn−1⋯∑kn−1=0n−1an−1kn−1bnn−1−kn−1∣=∑k0=0n−1∑k1=0n−1⋯∑kn−1=0n−1∣a0k0b10−k0a0k0b20−k0⋯a0k0bn0−k0a1k1b11−k1a1k1b21−k1⋯a1k1bn1−k1⋮⋮⋮an−1kn−1b1n−1−kn−1an−1kn−1b2n−1−kn−1⋯an−1kn−1bnn−1−kn−1∣=∣a0a0⋯a0a1b1a1b2⋯a1bna2b12a2b22⋯a2bn2⋮⋮⋮an−1b1n−1an−1b2n−1⋯an−1bnn−1∣=∏i=0n−1ai∣11⋯1b1b2⋯bnb12b22⋯bn2⋮⋮⋮b1n−1b2n−1⋯bnn−1∣=∏i=0n−1ai∏1≤j<k≤n(bk−bj)\begin{vmatrix} f_0(b_1) & f_0(b_2) & \cdots & f_0(b_n) \\ f_1(b_1) & f_1(b_2) & \cdots & f_1(b_n) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_{n-1}(b_1) & f_{n-1}(b_2) & \cdots & f_{n-1}(b_n) \\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} \sum_{k_0=0}^{n-1}a_{0k_0}b_1^{0-k_0} & \sum_{k_0=0}^{n-1}a_{0k_0}b_2^{0-k_0} & \cdots & \sum_{k_0=0}^{n-1}a_{0k_0}b_n^{0-k_0} \\ \sum_{k_1=0}^{n-1}a_{1k_1}b_1^{1-k_1} & \sum_{k_1=0}^{n-1}a_{1k_1}b_2^{1-k_1}& \cdots &\sum_{k_1=0}^{n-1}a_{1k_1}b_n^{1-k_1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}a_{n-1k_{n-1}}b_1^{n-1-k_{n-1}} & \sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}a_{n-1k_{n-1}}b_2^{n-1-k_{n-1}} & \cdots & \sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}a_{n-1k_{n-1}}b_n^{n-1-k_{n-1}} \\ \end{vmatrix}\\ =\sum_{k_0=0}^{n-1}\sum_{k_1=0}^{n-1}\cdots\sum_{k_{n-1}=0}^{n-1}\begin{vmatrix} a_{0k_0}b_1^{0-k_0} & a_{0k_0}b_2^{0-k_0} & \cdots & a_{0k_0}b_n^{0-k_0} \\ a_{1k_1}b_1^{1-k_1} &a_{1k_1}b_2^{1-k_1}& \cdots &a_{1k_1}b_n^{1-k_1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1k_{n-1}}b_1^{n-1-k_{n-1}} &a_{n-1k_{n-1}}b_2^{n-1-k_{n-1}} & \cdots & a_{n-1k_{n-1}}b_n^{n-1-k_{n-1}} \\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} a_0 & a_0 & \cdots & a_0\\ a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n\\ a_2b_1^2 & a_2b_2^2 & \cdots & a_2b_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n-1}b_1^{n-1} & a_{n-1}b_2^{n-1} & \cdots & a_{n-1}b_n^{n-1} \end{vmatrix}\\ =\prod_{i=0}^{n-1}a_i\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n\\ b_1^2 & b_2^2 & \cdots & b_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ b_1^{n-1} & b_2^{n-1} & \cdots & b_n^{n-1} \end{vmatrix}\\ =\prod_{i=0}^{n-1}a_i\prod_{1\le j\lt k\le n}(b_k-b_j)$
由题 $a_i$ 为多项式的首项系数，故不为零。又 $bj≠bkb_j\neq b_k$ ,所以上式不为0，引理得证。

上述证明用到了行列式的行线性。在对每一行根据多项式的不同次项分拆行列式时，如果该行留下的不是最高次项，不妨记该行为第i行，那么该行列式的前i行中最多有（i-1）个不同次项，即必有两行留下了相同次项，将这两行的系数提出后会得到相同的两行，即该拆分后的行列式为0.

解答

判断实数域上线性空间中向量组是否线性相关，即判断是否存在一组不全为零的实数 $k0,k1,k2,⋯,knk_0,k_1,k_2,\cdots,k_n$ ,满足 $k0+∑i=1nkisinix=0k_0 + \sum_{i=1}^{n}k_isinix=0$ ,记为(1)式，该式对 $∀x∈[−π,π]\forall x\in[-\pi,\pi]$ 都成立。

将x=0代入即得 $k_0=0$ 。于是只要判断对 $∀x∈[−π,π]\forall x\in[-\pi,\pi]$ ，是否存在一组不全为零的实数 $k1,k2,⋯,knk_1,k_2,\cdots,k_n$ ,满足 $∑i=1nkisinix=0\sum_{i=1}^{n}k_isinix=0$ 。

不难找到 $[−π,π][-\pi,\pi]$ 上（n+1）个数 $x1,x2,⋯,xn+1x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}$ ,使得 $i≠j（i,j=1,2,⋯,n+1)i\neq j（i,j=1,2,\cdots,n+1)$ 时， $sinxi≠sinxjsinx_i\neq sinx_j$ 。

将上述（n+1）个数分别代入(1)式，即得一个实数域上由（n+1）个方程组成的（n+1）元线性齐次方程组， $k1,k2,⋯,kn+1k_1,k_2,\cdots,k_{n+1}$ 为其变元。该方程组的系数矩阵为 $A=[1sinx1sin2x1⋯sinnx11sinx2sin2x2⋯sinnx2⋮⋮⋮⋮1sinxn+1sin2xn+1⋯sinnxn+1]A=\begin{bmatrix} 1 & sinx_1 & sin2x_1 & \cdots & sinnx_1\\ 1 & sinx_2 & sin2x_2 & \cdots & sinnx_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & sinx_{n+1} & sin2x_{n+1}& \cdots & sinnx_{n+1}\\ \end{bmatrix}$ 由于上述线性齐次方程组有非零解等价于矩阵A不满秩，从而问题转变为研究矩阵A是否满秩。

注意到 $sinnx=(cosx+isinx)n−(cosx−isinx)n2i=∑k=0n(cosx)n−k[(isinx)k−(−isinx)k]2i=−i∑k=02∤kn(cosx)n−k(isinx)k,sinnx=\frac {(cosx+isinx)^n-(cosx-isinx)^n}{2i}\\=\frac{\sum_{k=0}^n(cosx)^{n-k}[(isinx)^k-(-isinx)^k]}{2i}\\ =-i\sum_{\begin{array}{c} k=0\\ 2\not|k \end{array}}^n(cosx)^{n-k}(isinx)^k,$ 当n为奇数时， $（ n - k ）$ 为偶数， $(cosx)n−k=[1−(sinx)2]n−k2(cosx)^{n-k}=[1-(sinx)^2]^{\frac{n-k}2}$ ,sinnx为复数域上关于sinx的n次多项式。
从而可令 $f_i(x)=sinix$ ,令 $f_0(x)=1$ ,则 $A′=[f0(x1)f0(x2)⋯f0(xn+1)f1(x1)f1(x2)⋯f1(xn+1)⋮⋮⋮fn(x1)fn(x2)⋯fn(xn+1)],A'=\begin{bmatrix} f_0(x_1) & f_0(x_2) & \cdots & f_0(x_{n+1}) \\ f_1(x_1) & f_1(x_2) & \cdots & f_1(x_{n+1}) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_n(x_1) & f_n(x_2) & \cdots & f_n(x_{n+1}) \\ \end{bmatrix},$ A’表示A的转置。
由引理可知A满秩。
从而向量组 $1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx$ 线性无关。
当n为偶数时，(n+1)为奇数,向量组 $1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sin(n+1)x1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sin(n+1)x$ 线性无关,从而向量组 $1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx$ 线性无关。
所以对任意正整数n，向量组 $1,sinx,sin2x,sin3x,⋯,sinnx1,sinx,sin2x,sin3x,\cdots,sinnx$ 线性无关。
该线性无关向量组包含(n+1)个向量，所以它的秩为(n+1)。