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加法器

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首先定义几个表示，方便后续推演

• a1 :adder1
• a2 :adder2
• s :sum
• cin:carry in
• cout:carry out

一、半加器

半加器是不带进位的一个加法器
显然如果a1和a2相同s = 0，可以使用异或来实现

//cin = 0
s = a1^a2

而对于cout只有在a1和a2均为1时候才会有值，所以就是

cout = a1*a2

二、全加器

全加器是带进位输入的一个加法器了
此时我们进行分析，当sum = 1的情况

s = a1*a2*cin+a1*a2'cin'+a1'*a2*cin' +a1'*a2'*cin

通过化简得到

s = (a1^a2)cin'+(a1^a2)'cin= a1^a2^cin

对于cout来说也是同样道理进行分析，cout = 0的情况

cout = a1&a2 | a1&cin | a2&cin

总结

半加器
s = a1^a2
cout = a1*a2
全加器
s = a1^a2^cin
cout = a1&a2 | a1&cin | a2&cin