韦伊论费马
韦伊论费马
读书心得1：
韦伊：“认为费马的声誉主要表现在费马大定理上是无知者的表现。”
chap2费马和他的信件
§2.1生平
皮埃尔·费马（Pierre Fermat，1601.8.20-1665.1.12），出生于法国图卢兹附近的一个皮革商家庭，大学时专修法律，毕业后当了律师，曾经任图卢兹议会顾问三十余年。
费马显然喜爱优秀的经典教育；他十分精通[法语、]拉丁、希腊、意大利和西班牙文，他以多种文字写诗的本领得到了广泛的赞扬，这一本领也传给了他的儿子塞缪尔。
费马在30岁后才从事数学研究，由于他博闻饱学，精通数种文字，掌握多门自然科学知识，又结交了笛卡尔、梅森、惠更斯等著名学者，经常书信往来，讨论数学问题，因此他的成就诸多。可惜生前较少发表论著；多数成果留在手稿、通信或书页空白处，死后才由儿子整理汇集成书，在图卢兹出版，才被后世誉为“业余数学之王”。
1670年，费马之子连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版。
§2.2二项式系数
§2.3证明与“归纳”的相较
§2.4完全数与费马定理
【
1644年，梅森（M.Mersenne，1588-1648）提出的梅森猜想：当P为素数时，形如M(P)=2^P-1的数中有无限多个素数。
1664年(又作1640年)，费马提出的“费马猜想”：当n为自然数时，形如F(n)=2^(2^n)+1的数均为素数。
费马研究了形如F(n)=2^(2^n)+1的数，并且具体计算以下五个数：
F(0)=3，F(1)=5，F(2)=17，F(3)=257，F(4)=399377，上述五个数都是素数。
高斯提出的“尺规作图猜想”：所有边数等于费马数F(n)=2^(2^n)+1中素数的正多边形，均可用尺规作图作出来。
】
【
王元论哥德巴赫猜想
http://book.chaoxing.com/ebook/read_11082715_184.html
F_0,F_1,F_2,F_3,F_4都是素数，1732年，欧拉证明了641|F_5。
形如M_p=2^p-1（p为素数）的素数称为梅森素数，是否有无穷多个梅森素数，这是没有解决的问题。迄今只知道28个梅森素数，最大者为M_86243。
适合于σ_1(n)=2n的整数称为完全数。可以证明，偶完全数与梅森素数是一一对应的，故迄今共知道28个偶完全数。然而，是否有奇完全数乃是未解决之难题。
】
第一对亲和数：220和284。
(数论贡献7)1636年，费马发现了第二对亲和数：17296和18416。
1638年3月31日，笛卡尔宣布找到了第三对亲和数：9437506和9363584。
费马早在1636年之前就开始考虑这些问题了，在1636年他曾断言，如果他想要得到解决所有这些问题的一般方法是非常困难的，并且告诉罗伯瓦尔说，他计划写一篇关于这个题目的小文章；1643年，他还得意地说到关于“aliquot parts”的“卓越发现”，但是他对它们的兴趣似乎正在消退；那时丢番图问题和平方和问题已经占据了显著的位置。
让我们更感兴趣的是费马为分解2^37-1所采用的方法。根据他在1640年6月左右告诉梅森的，他的方法根据了下面的三个命题：
（Ⅰ）如果n不是素数，则2^n-1也不是素数。
（Ⅱ）如果n是素数，则2^n-2是2n的倍数。
（Ⅲ）如果n不是素数，并且p是2^n-1的一个素因子，则p-1是n的一个倍数。
正如前面一提到的那样，（Ⅰ）是平凡的，因为它是恒等式x^b-1=(x-1)(x^(b-1)+x^(b-2)+…+1)中x=2^a的特殊情形。费马把此当作一个发现提了出来恰恰说明在那当时他的代数知识是何等肤浅。至于（Ⅱ）与（Ⅲ），它们自然是现在称之为“费马定理”的典型情形。
----费马定理或费马小定理：如果p是素数，a是正整数，则p|(a^p-a)。
如果n是任意整数，p是任意素数，那么n^p-n可以被p整除，即(n^p-n)/p=m。例如取p=3，n=5，我们得到5^3-5=120=3*40,m=40；对于n=2，p=11，我们得到2^11-2=2046=11*186,m=186。
费马像同样那样，陈述了关于n^p-n的定理而没有证明。第一个证明是莱布尼茨在一篇没有注明日期的手稿中给出的，但他似乎在1683年以前就知道了一个证明。
对于费马定理有两个经典的阐述，从而有两个相应的证明。
§2.5最初的探索
从1636年到1640年间，费马把他的注意力不断转向了两类问题：一个是丢番图问题，另一个则是平方和问题。
当然后一类问题也是由丢番图提出的，至少也是由巴歇在对丢番图的评注时提出的。
§2.6对二次剩余的初次尝试
我们先把平方和问题放在一边，转而讨论自欧拉以来我们对二次剩余理论知道了些什么。
我们已经看到，费马定理是想要求出一个素数p何时能够除尽数a^n-1的问题中产生的；与此相伴的问题是求出何时p除尽a^n+1的问题，这在他与弗莱尼柯的1640年和1641年的通信中反复出现过。用现代术语表达，我们说n_p(a)是a模p的阶是指一个最小的数n>0，使得p除尽a^n-1。由费马判别法，p除尽某个数a^m+1的充要条件是n_p(a)为偶数。另一方面，从欧拉以来便已知道，a是一个模p二次剩余的充要条件是(p-1)/n_p(a)为偶数；
§2.7两个平方数和的素因子
我们对模p同余类构成域，即所谓的素域F_p，这个事实已习以为常了，同样还有它所蕴涵的所有代数性质也是如此，从而我们觉得没有必要再对它进行进一步的分析。实际上巴歇对于方程ax-my=1的解表明了每个与m互素的整数a都有一个模m逆；对于素数m这便表明了F_m是个域。
§2.8两个平方数之和
----费马提出的命题：形如4n+1的素数均能唯一地表示为两个平方数之和；
(数论贡献1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
(数论贡献2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
(数论贡献3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
(数论贡献4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
(数论贡献5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
(数论贡献6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
摘录自素数与二平方和：
费尔马大定理是48条评注中的第2条。在它们的第7条评注中，费马得到了下面的命题0.1,0.2。
命题0.1：
如果p为素数，且p≡1(mod4)，例如p=5，13，17，则存在a^2+b^2=p^2，其中整数a，b，p为直角三角形的三边。然而，对于p为素数，且p≡3(mod4)，例如p=3，7，11，则不存在这样的直角三角形。
21≡1(mod4)，但21不是素数，21不是三边为整数的直角三角形的斜边。
从古代以来，人们一直在考虑三边为整数的直角三角形，但首先看出与素数的这种关系是费马。
命题0.2：对于p为素数，且p≡3(mod4)，连满足p=x^2+y^2的有理数都不存在。
当费马在1640年圣诞日写信给梅森，告诉他说，每个素数p=4n+1是一个且是唯一的一个两个平方数的和时，自然他必定已经按不同的方式在进行了。
每一个形式为4n+1的素数是两个数的平方和，并且这种和的形式是唯一的。我们容易证明形式为4n-1的任何数都不是两个数的平方和。例如，37被4除有余数1，所以37一定是两个整数的平方和。我们发现确实37=1+36=1^2+6^2，并且没有其他的数的平方x^2和y^2能使37=x^2+y^2。对于素数101，我们有1^2+10^2；对于41，我们有4^2+5^2。另一方面，19=4*5-1，它不是两个数的平方和。
正如几乎他所有的算术工作一样，费马也没有留下这个定理的证明。伟大的欧拉在1749年首次证明了这个定理，而为了给它找到一个证明，欧拉断断续续地奋斗了7年。但是费马确实描述了他发明的一个巧妙的方法，他用这个方法证明了这个定理和他的其他一些令人赞叹的结果。这个方法被称为“无穷递降法”。他自己的记述既简单又清晰，所以我们从他1659年8月写给Carcavi的信中，不拘文字地翻译了一段。
“我在肯定命题中的推理过程是这样的：如果一个形式为4n+1的任意选定的素数不是两个数的平方和，我咋证明了会有同样性质的另一个数，比选定的那一个小，因此接着有第三个更小的数，等等。用这个方法做无穷递降，我们最后达到了数5，这一类[4n+1]的所有数中最小的一个。可以知道5不是两个数的平方和。但是它是。因此我们可以从反证法推出，所有形式为4n+1的数都是两个数的平方和。”
§2.9由两个平方数和表示的数
§2.10无限下降法以及方程x^4-y^4=z^2
【
韦伊：“认为费马的声誉主要表现在费马大定理上是无知者的表现。”
chap2费马和他的信件
§2.1生平
皮埃尔·费马（Pierre Fermat，1601.8.20-1665.1.12），出生于法国图卢兹附近的一个皮革商家庭，大学时专修法律，毕业后当了律师，曾经任图卢兹议会顾问三十余年。
费马显然喜爱优秀的经典教育；他十分精通[法语、]拉丁、希腊、意大利和西班牙文，他以多种文字写诗的本领得到了广泛的赞扬，这一本领也传给了他的儿子塞缪尔。
费马在30岁后才从事数学研究，由于他博闻饱学，精通数种文字，掌握多门自然科学知识，又结交了笛卡尔、梅森、惠更斯等著名学者，经常书信往来，讨论数学问题，因此他的成就诸多。可惜生前较少发表论著；多数成果留在手稿、通信或书页空白处，死后才由儿子整理汇集成书，在图卢兹出版，才被后世誉为“业余数学之王”。
1670年，费马之子连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版。
§2.2二项式系数
§2.3证明与“归纳”的相较
§2.4完全数与费马定理
【
1644年，梅森（M.Mersenne，1588-1648）提出的梅森猜想：当P为素数时，形如M(P)=2^P-1的数中有无限多个素数。
1664年(又作1640年)，费马提出的“费马猜想”：当n为自然数时，形如F(n)=2^(2^n)+1的数均为素数。
费马研究了形如F(n)=2^(2^n)+1的数，并且具体计算以下五个数：
F(0)=3，F(1)=5，F(2)=17，F(3)=257，F(4)=399377，上述五个数都是素数。
高斯提出的“尺规作图猜想”：所有边数等于费马数F(n)=2^(2^n)+1中素数的正多边形，均可用尺规作图作出来。
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【
王元论哥德巴赫猜想
http://book.chaoxing.com/ebook/read_11082715_184.html
F_0,F_1,F_2,F_3,F_4都是素数，1732年，欧拉证明了641|F_5。
形如M_p=2^p-1（p为素数）的素数称为梅森素数，是否有无穷多个梅森素数，这是没有解决的问题。迄今只知道28个梅森素数，最大者为M_86243。
适合于σ_1(n)=2n的整数称为完全数。可以证明，偶完全数与梅森素数是一一对应的，故迄今共知道28个偶完全数。然而，是否有奇完全数乃是未解决之难题。
】
第一对亲和数：220和284。
(数论贡献7)1636年，费马发现了第二对亲和数：17296和18416。
1638年3月31日，笛卡尔宣布找到了第三对亲和数：9437506和9363584。
费马早在1636年之前就开始考虑这些问题了，在1636年他曾断言，如果他想要得到解决所有这些问题的一般方法是非常困难的，并且告诉罗伯瓦尔说，他计划写一篇关于这个题目的小文章；1643年，他还得意地说到关于“aliquot parts”的“卓越发现”，但是他对它们的兴趣似乎正在消退；那时丢番图问题和平方和问题已经占据了显著的位置。
让我们更感兴趣的是费马为分解2^37-1所采用的方法。根据他在1640年6月左右告诉梅森的，他的方法根据了下面的三个命题：
（Ⅰ）如果n不是素数，则2^n-1也不是素数。
（Ⅱ）如果n是素数，则2^n-2是2n的倍数。
（Ⅲ）如果n不是素数，并且p是2^n-1的一个素因子，则p-1是n的一个倍数。
正如前面一提到的那样，（Ⅰ）是平凡的，因为它是恒等式x^b-1=(x-1)(x^(b-1)+x^(b-2)+…+1)中x=2^a的特殊情形。费马把此当作一个发现提了出来恰恰说明在那当时他的代数知识是何等肤浅。至于（Ⅱ）与（Ⅲ），它们自然是现在称之为“费马定理”的典型情形。
----费马定理或费马小定理：如果p是素数，a是正整数，则p|(a^p-a)。
如果n是任意整数，p是任意素数，那么n^p-n可以被p整除，即(n^p-n)/p=m。例如取p=3，n=5，我们得到5^3-5=120=3*40,m=40；对于n=2，p=11，我们得到2^11-2=2046=11*186,m=186。
费马像同样那样，陈述了关于n^p-n的定理而没有证明。第一个证明是莱布尼茨在一篇没有注明日期的手稿中给出的，但他似乎在1683年以前就知道了一个证明。
对于费马定理有两个经典的阐述，从而有两个相应的证明。
§2.5最初的探索
从1636年到1640年间，费马把他的注意力不断转向了两类问题：一个是丢番图问题，另一个则是平方和问题。
当然后一类问题也是由丢番图提出的，至少也是由巴歇在对丢番图的评注时提出的。
§2.6对二次剩余的初次尝试
我们先把平方和问题放在一边，转而讨论自欧拉以来我们对二次剩余理论知道了些什么。
我们已经看到，费马定理是想要求出一个素数p何时能够除尽数a^n-1的问题中产生的；与此相伴的问题是求出何时p除尽a^n+1的问题，这在他与弗莱尼柯的1640年和1641年的通信中反复出现过。用现代术语表达，我们说n_p(a)是a模p的阶是指一个最小的数n>0，使得p除尽a^n-1。由费马判别法，p除尽某个数a^m+1的充要条件是n_p(a)为偶数。另一方面，从欧拉以来便已知道，a是一个模p二次剩余的充要条件是(p-1)/n_p(a)为偶数；
§2.7两个平方数和的素因子
我们对模p同余类构成域，即所谓的素域F_p，这个事实已习以为常了，同样还有它所蕴涵的所有代数性质也是如此，从而我们觉得没有必要再对它进行进一步的分析。实际上巴歇对于方程ax-my=1的解表明了每个与m互素的整数a都有一个模m逆；对于素数m这便表明了F_m是个域。
§2.8两个平方数之和
----费马提出的命题：形如4n+1的素数均能唯一地表示为两个平方数之和；
(数论贡献1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
(数论贡献2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
(数论贡献3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
(数论贡献4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
(数论贡献5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
(数论贡献6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
摘录自素数与二平方和：
费尔马大定理是48条评注中的第2条。在它们的第7条评注中，费马得到了下面的命题0.1,0.2。
命题0.1：
如果p为素数，且p≡1(mod4)，例如p=5，13，17，则存在a^2+b^2=p^2，其中整数a，b，p为直角三角形的三边。然而，对于p为素数，且p≡3(mod4)，例如p=3，7，11，则不存在这样的直角三角形。
21≡1(mod4)，但21不是素数，21不是三边为整数的直角三角形的斜边。
从古代以来，人们一直在考虑三边为整数的直角三角形，但首先看出与素数的这种关系是费马。
命题0.2：对于p为素数，且p≡3(mod4)，连满足p=x^2+y^2的有理数都不存在。
当费马在1640年圣诞日写信给梅森，告诉他说，每个素数p=4n+1是一个且是唯一的一个两个平方数的和时，自然他必定已经按不同的方式在进行了。
每一个形式为4n+1的素数是两个数的平方和，并且这种和的形式是唯一的。我们容易证明形式为4n-1的任何数都不是两个数的平方和。例如，37被4除有余数1，所以37一定是两个整数的平方和。我们发现确实37=1+36=1^2+6^2，并且没有其他的数的平方x^2和y^2能使37=x^2+y^2。对于素数101，我们有1^2+10^2；对于41，我们有4^2+5^2。另一方面，19=4*5-1，它不是两个数的平方和。
正如几乎他所有的算术工作一样，费马也没有留下这个定理的证明。伟大的欧拉在1749年首次证明了这个定理，而为了给它找到一个证明，欧拉断断续续地奋斗了7年。但是费马确实描述了他发明的一个巧妙的方法，他用这个方法证明了这个定理和他的其他一些令人赞叹的结果。这个方法被称为“无穷递降法”。他自己的记述既简单又清晰，所以我们从他1659年8月写给Carcavi的信中，不拘文字地翻译了一段。
“我在肯定命题中的推理过程是这样的：如果一个形式为4n+1的任意选定的素数不是两个数的平方和，我咋证明了会有同样性质的另一个数，比选定的那一个小，因此接着有第三个更小的数，等等。用这个方法做无穷递降，我们最后达到了数5，这一类[4n+1]的所有数中最小的一个。可以知道5不是两个数的平方和。但是它是。因此我们可以从反证法推出，所有形式为4n+1的数都是两个数的平方和。”
§2.9由两个平方数和表示的数
§2.10无限下降法以及方程x^4-y^4=z^2
【
霍华德·伊夫斯的《数学史概论》
http://59.67.71.238:8080/shuxueshi/yfs.htm
http://59.67.71.238:8080/shuxueshi/files/10.3.htm
费马的研究趋向6：整数边直角三角形的面积不能是一个平方数，这也是后来由拉格朗日证明的。
http://59.67.71.238:8080/shuxueshi/yfs.htm
http://59.67.71.238:8080/shuxueshi/files/10.3.htm
费马的研究趋向6：整数边直角三角形的面积不能是一个平方数，这也是后来由拉格朗日证明的。
】
"由于在书中可以找到的那些常规的方法对证明这些困难的命题已不使用，我最终找到了一个最奇特的方法……我称它为无限下降法。最初我只用它证明否定性的结果，诸如‘没有形如3n-1的数可以写为x^2+3y^2’,‘不存在数的直角三角形其面积是个平方数’……将它用在肯定性的问题上要难得多，故而，当我必须证明‘每个形如4n+1的素数是两个平方数之和’时，我发现自己处在令人遗憾的困境之中。但最终这样的问题被证明是可以顺从于我的方法的……"
§2.11费马成熟时期的问题
依然沿着费马在1659年给惠更斯信中所大体描述的路线走，我们现在转回到二次剩余和二次型上；在稍后我们会看到在研究丢番图方程中应用“下降法”成了费马按此方向前进的强有力的诱因。
为了马上能对当前将要讨论到的题目做一个概要的描述，我们应注意到，费马关于这个课题论述是在以下的标题下出现的：
(i)关于每个整数是“三个三角数、四个平方数、五个五角数等等之和”的陈述；这早在1638年就已断言而后则经常重复。
(ii)早在1641年，费马似乎就已注意到二次型X^2-2Y^2的某些主要性质了；
(iii)现存的费马与弗莱尼柯的通信，包括经梅森转交的，全部集中于1640年到1641年间。
(iv)1654年，费马想要唤起帕斯卡对于数论的兴趣的企图显然失败了。
(v)最后，在1659年与惠更斯的通信中，当费马重复着上述的一些陈述时，他还指出了他关于丢番图的“单个和二重方程”方面的工作。它们中的大多数都引向了亏格为1的曲线；但是费马给出了两个属于二次型的例子。
§2.12“初等”二次型
费马还发现了下面的事实。
命题0.3：如果p为素数，且p≡1(mod8)或p≡3(mod8)，则存在使p=x^2+2y^2成立的自然数x，y。例如3=1^2+2·1^2，11=3^2+2·1^2，17=3^2+2·2^2。但是，对p为素数，且p≡5(mod8)或p≡7(mod8)，连使p=x^2+2y^2成立的有理数x，y也不存在。
命题0.4：如果p为素数，且p≡1(mod3)，则存在使p=x^2+3y^2成立的自然数x，y。例如7,13,19。然而，对p为素数，且p≡1(mod3)，连满足p=x^2+3y^2成立的有理数x，y也不存在。
"由于在书中可以找到的那些常规的方法对证明这些困难的命题已不使用，我最终找到了一个最奇特的方法……我称它为无限下降法。最初我只用它证明否定性的结果，诸如‘没有形如3n-1的数可以写为x^2+3y^2’,‘不存在数的直角三角形其面积是个平方数’……将它用在肯定性的问题上要难得多，故而，当我必须证明‘每个形如4n+1的素数是两个平方数之和’时，我发现自己处在令人遗憾的困境之中。但最终这样的问题被证明是可以顺从于我的方法的……"
§2.11费马成熟时期的问题
依然沿着费马在1659年给惠更斯信中所大体描述的路线走，我们现在转回到二次剩余和二次型上；在稍后我们会看到在研究丢番图方程中应用“下降法”成了费马按此方向前进的强有力的诱因。
为了马上能对当前将要讨论到的题目做一个概要的描述，我们应注意到，费马关于这个课题论述是在以下的标题下出现的：
(i)关于每个整数是“三个三角数、四个平方数、五个五角数等等之和”的陈述；这早在1638年就已断言而后则经常重复。
(ii)早在1641年，费马似乎就已注意到二次型X^2-2Y^2的某些主要性质了；
(iii)现存的费马与弗莱尼柯的通信，包括经梅森转交的，全部集中于1640年到1641年间。
(iv)1654年，费马想要唤起帕斯卡对于数论的兴趣的企图显然失败了。
(v)最后，在1659年与惠更斯的通信中，当费马重复着上述的一些陈述时，他还指出了他关于丢番图的“单个和二重方程”方面的工作。它们中的大多数都引向了亏格为1的曲线；但是费马给出了两个属于二次型的例子。
§2.12“初等”二次型
费马还发现了下面的事实。
命题0.3：如果p为素数，且p≡1(mod8)或p≡3(mod8)，则存在使p=x^2+2y^2成立的自然数x，y。例如3=1^2+2·1^2，11=3^2+2·1^2，17=3^2+2·2^2。但是，对p为素数，且p≡5(mod8)或p≡7(mod8)，连使p=x^2+2y^2成立的有理数x，y也不存在。
命题0.4：如果p为素数，且p≡1(mod3)，则存在使p=x^2+3y^2成立的自然数x，y。例如7,13,19。然而，对p为素数，且p≡1(mod3)，连满足p=x^2+3y^2成立的有理数x，y也不存在。
命题0.5：如果p为素数，且p≡1(mod8)或p≡7(mod8)，则存在使p=x^2-2y^2成立的自然数x，y。例如7,17,23。然而，对p为素数，且p≡3(mod3)或p≡5(mod8)，则甚至不存在有理数使得p=x^2-2y^2成立的有理数x，y也不存在。
关于将整数用形式X^2+2Y^2，X^2+3Y^2表示的个数问题，费马必定已经知道，凡是他依循的对于两个平方数和的方法都可以几乎无更改地应用到这里；§9的引理3及其证明对于这些形式依然有效，但需要加上当形式为X^2+3Y^2时有q>3，N/q>3的假定。
§2.13佩尔方程
摘录自Pell方程：
费马也陈述证明了下述事实。
命题0.6：设N为非平方的自然数。此时方程式x^2-Ny^2=1具有无限多个自然数的解。
例如，方程x^2-2y^2=1具有3^2-2*2^2=1,17^2-2*12^2=1,99^2-2*70^2=1等等无限多个自然数的解。
称形如x^2-Ny^2=1的方程为Pell方程（Pell equation）。
从现代数学的观点来看，命题0.6与环Z[sqrt(N)]={a+bsqrt(N)|a,b∈Z}有关。
如果整数x,y满足x^2-Ny^2=1，把它改写为(x+ysqrt(N))(x-ysqrt(N))=1时可以看出x+ysqrt(N)是环Z[sqrt(N)]中的可逆元（invertible element）（其倒数也是Z[sqrt(N)]中元）。例如，N=2时，我们已知Z[sqrt(2)]的可逆元全体为无限集{±(1+sqrt(2))^n|n∈Z}，Z[sqrt(2)]的可逆元为无限个，从而其背后的事实是说x^2-2y^2=1有无限多个自然数的解。极其不同地，Z[i]的全部可逆元为有限集合{±1, ±i}，这样的可逆元集合的情形，可用在第四章“代数数论”的重要定理“狄利克雷单位定理”（§4.2）给予解释，在§4.2中，将使用狄利克雷单位定理（Dirichlet unit theorem）证明命题0.6。
对于形式X^2-2Y^2的研究一定使得费马相信求方程X^2-NY^2=±1的整数解的极端重要性，或者用现代的说法，即求实二次域单位元的极端重要性。
§2.14二次不定方程
§2.15对亏格1的方程的追本溯源
如果认真读取费马在1659年给惠更斯信中的话，人们必定会得出结论说，他在其职业生涯的相对晚期从事了对诸如x^3+y^3=z^3,x^2+2=y^3,x^2+4=y^3此类丢番图方程的研究。然而这些方程中的第一个已在1638年给梅森的信中就出现过，而且在1640年还连同几个同类型的方程再次出现，并明显地暗示说，这些方程除了那些显然解外，没有其他解。确实，他对于亏格1的丢番图方程进行密集研究的时期是从1641年左右开始的。
我们在第一章§10已看到，在《丢番图》中最重要的问题都与亏格0和1的曲线有关。对于费马而言，这种曲线几乎变成了他唯一的专注。仅仅在一个令人不快的场合费马提到过一条具更高亏格的曲线。在无知者的眼里他的声誉竟主要表现在它上面。
【
第一章 椭圆曲线的有理点
本章的目的是介绍椭圆曲线并介绍数论中有关椭圆曲线的重要的Mordell定理的证明的主要部分。
§1.1费马与椭圆曲线
(a)x^4+y^4=z^4与椭圆曲线
像在§0.7所讲过的那样，费马在丢番图书中的空白处写下了“不存在三边长为整数而面积为平方数的直角三角形”（命题0.13）的证明。而且在其证明中实际上完成了对下面命题的证明。
命题1.1：不存在满足x^4+y^4=z^4的自然数x,y,z。
试着把费马对命题0.13的证明以现代风格改写一下，费马便能通过对椭圆曲线y^2=x^3-x进行的考察作出解释。像在本节的(c)小节将要说明的那样，命题0.13等价于下面的命题1.2。因此，命题1.1也可以归结到命题1.2。
命题1.2：y^2=x^3-x的有理数解只有(x,y)=(0,0),(±1,0)。
命题1.1归结到命题1.2可理解如下。如果存在满足x^4+y^4=z^4的自然数x,y,z，由于它们满足(x^2z/y^3)^2=(x^2/y^2)^3-x^2/y^2，故存在满足方程y^2=x^3-x的y≠0的有理数。这与命题1.2矛盾，因此如果证明了命题1.2，那么命题1.1便得到了证明。命题1.2的证明将在本节的(d)小节中给出。
(b)椭圆曲线
在序章中说过，费马所说“1以外的三角数非立方数”可以通过关于y^2=x^3=1的整数解的观点进行解释，费马还宣称y^2=x^3-4的自然数解只有(x,y)=(2,2),(5,11)。我们现在把这些曲线
y^2=x^3-x,y^2=x^3+1,y^2=x^3-4的图像画出来（图1.1）。
称它们为有理数域Q上的椭圆曲线。Q上的椭圆曲线是由形如下面的方程给出的曲线：
(*)----y^2=ax^3+bx^2+cx+d，(a,b,c,d∈Q)，
其中a≠0，而且右端的三次式没有重根。
当K为特征非2的域时，将(*)中"a,b,c,d∈Q"换作"a,b,c,d∈K"，则成了"K上椭圆曲线"的定义。本章专门考察Q上的椭圆曲线，而特征2时的椭圆曲线则不予叙述。对y^2=x^3,y^2=x^2(x+1)之类的右端具重根的我们不称之为椭圆曲线。在它们的图像（图1.2）中可以看出所引起的不正常的地方，即具有奇点（在这些曲线中的点(0,0)）。
了解椭圆曲线的整点和有理点是费马所喜欢的课题，实际上这也是在本书中进行讨论时所关联到的数学的深层次的地方。
我们已经知道，一般说来，椭圆曲线上的整点并非有限个（Mordell，Siegel）。 另外，不是椭圆曲线的y^2=x^3,y^2=x^2(x+1)不成立整点的有限性，事实上(n^3,n^2)（n∈Z）为y^2=x^3的无限多个整点，而(n^2-1,n(n^2-1))（n∈Z）为y^2=x^2(x+1)的无限多个整点。
另一方面，Q上的椭圆曲线的有理点既可以是有限个也可以是无限个。
§1.3Mordell定理
所谓Mordell定理是指在1922年Mordell所证明的下面的定理。
定理1.12：设E为Q上的椭圆曲线，则E(Q)为有限生成Abel群。
根据“Abel群基本定理”，有限生成Aebl群同构于
(1.5)----Z^((+)r)(+)有限Abel群(r>=0)，Z^((+)r)表示r个Abel群Z的直和。称这个r为这条曲线的秩(rank)。
例如，
y^2=x^3-x,y^2=x^3+1,y^2=x^3-4,y^2=x^3-2的秩分别是0,0,1,1。虽有猜想说有理数域上的椭圆曲线的秩能够任意大，但现在仍是个未解决的问题。
】
§2.16再论下降法
§2.17结论
在十九世纪，费马的遗产有一次受到了毁灭性的威胁。从实质上说，它包含了三个互相关联的原则。一个是应该研究代数几何，首先是代数曲线，不止是在实数域或者最终在复数域上，同样要在其他域上，而且突出地要在有理数域上。其次一个原则是在这个研究中，有理变换是个合适的工具。第三，存在可用于丢番图问题的无限下降法。但是在十九世纪，代数几何中的函数论式方法的显著成功导致了一时间复数对它竞争者的几乎是全盘的胜利，这个胜出是从椭圆函数开始的，它耗尽了对亏格1曲线的全部研究，并延续成为黎曼的Abel函数理论。所谓“纯”几何的发展，特别是由彭赛列开创而由Chasles、莫比乌斯和其他许多人的发展成的射影几何，重新恢复了协调和平衡，如果不是这样，那么从一开始几乎一成不变的要在复数域上进行操作了；这个传统在意大利几何中传承下来并有所超越。在这整个时期中，费马的名字几乎无一例外地总与他的“大定理”即方程x^n+y^n=z^n联系在一起出现，然而他的丰富成果掌握在库默尔的手中，不属于我们当前的主题。
附录Ⅰ欧几里得二次域
附录Ⅱ射影空间中的亏格1曲线
我们已经看到，大多数费马所研究过的丢番图问题涉及的方程或方程组，我们现在会说，它们定义了椭圆曲线，即亏格为1的代数曲线；在每个情形中的问题都是求该曲线上的有理点（有时是整点）。为了真正了解他的方法，将它们转换成现在在代数几何中通常使用的语言将
关于将整数用形式X^2+2Y^2，X^2+3Y^2表示的个数问题，费马必定已经知道，凡是他依循的对于两个平方数和的方法都可以几乎无更改地应用到这里；§9的引理3及其证明对于这些形式依然有效，但需要加上当形式为X^2+3Y^2时有q>3，N/q>3的假定。
§2.13佩尔方程
摘录自Pell方程：
费马也陈述证明了下述事实。
命题0.6：设N为非平方的自然数。此时方程式x^2-Ny^2=1具有无限多个自然数的解。
例如，方程x^2-2y^2=1具有3^2-2*2^2=1,17^2-2*12^2=1,99^2-2*70^2=1等等无限多个自然数的解。
称形如x^2-Ny^2=1的方程为Pell方程（Pell equation）。
从现代数学的观点来看，命题0.6与环Z[sqrt(N)]={a+bsqrt(N)|a,b∈Z}有关。
如果整数x,y满足x^2-Ny^2=1，把它改写为(x+ysqrt(N))(x-ysqrt(N))=1时可以看出x+ysqrt(N)是环Z[sqrt(N)]中的可逆元（invertible element）（其倒数也是Z[sqrt(N)]中元）。例如，N=2时，我们已知Z[sqrt(2)]的可逆元全体为无限集{±(1+sqrt(2))^n|n∈Z}，Z[sqrt(2)]的可逆元为无限个，从而其背后的事实是说x^2-2y^2=1有无限多个自然数的解。极其不同地，Z[i]的全部可逆元为有限集合{±1, ±i}，这样的可逆元集合的情形，可用在第四章“代数数论”的重要定理“狄利克雷单位定理”（§4.2）给予解释，在§4.2中，将使用狄利克雷单位定理（Dirichlet unit theorem）证明命题0.6。
对于形式X^2-2Y^2的研究一定使得费马相信求方程X^2-NY^2=±1的整数解的极端重要性，或者用现代的说法，即求实二次域单位元的极端重要性。
§2.14二次不定方程
§2.15对亏格1的方程的追本溯源
如果认真读取费马在1659年给惠更斯信中的话，人们必定会得出结论说，他在其职业生涯的相对晚期从事了对诸如x^3+y^3=z^3,x^2+2=y^3,x^2+4=y^3此类丢番图方程的研究。然而这些方程中的第一个已在1638年给梅森的信中就出现过，而且在1640年还连同几个同类型的方程再次出现，并明显地暗示说，这些方程除了那些显然解外，没有其他解。确实，他对于亏格1的丢番图方程进行密集研究的时期是从1641年左右开始的。
我们在第一章§10已看到，在《丢番图》中最重要的问题都与亏格0和1的曲线有关。对于费马而言，这种曲线几乎变成了他唯一的专注。仅仅在一个令人不快的场合费马提到过一条具更高亏格的曲线。在无知者的眼里他的声誉竟主要表现在它上面。
【
第一章 椭圆曲线的有理点
本章的目的是介绍椭圆曲线并介绍数论中有关椭圆曲线的重要的Mordell定理的证明的主要部分。
§1.1费马与椭圆曲线
(a)x^4+y^4=z^4与椭圆曲线
像在§0.7所讲过的那样，费马在丢番图书中的空白处写下了“不存在三边长为整数而面积为平方数的直角三角形”（命题0.13）的证明。而且在其证明中实际上完成了对下面命题的证明。
命题1.1：不存在满足x^4+y^4=z^4的自然数x,y,z。
试着把费马对命题0.13的证明以现代风格改写一下，费马便能通过对椭圆曲线y^2=x^3-x进行的考察作出解释。像在本节的(c)小节将要说明的那样，命题0.13等价于下面的命题1.2。因此，命题1.1也可以归结到命题1.2。
命题1.2：y^2=x^3-x的有理数解只有(x,y)=(0,0),(±1,0)。
命题1.1归结到命题1.2可理解如下。如果存在满足x^4+y^4=z^4的自然数x,y,z，由于它们满足(x^2z/y^3)^2=(x^2/y^2)^3-x^2/y^2，故存在满足方程y^2=x^3-x的y≠0的有理数。这与命题1.2矛盾，因此如果证明了命题1.2，那么命题1.1便得到了证明。命题1.2的证明将在本节的(d)小节中给出。
(b)椭圆曲线
在序章中说过，费马所说“1以外的三角数非立方数”可以通过关于y^2=x^3=1的整数解的观点进行解释，费马还宣称y^2=x^3-4的自然数解只有(x,y)=(2,2),(5,11)。我们现在把这些曲线
y^2=x^3-x,y^2=x^3+1,y^2=x^3-4的图像画出来（图1.1）。
称它们为有理数域Q上的椭圆曲线。Q上的椭圆曲线是由形如下面的方程给出的曲线：
(*)----y^2=ax^3+bx^2+cx+d，(a,b,c,d∈Q)，
其中a≠0，而且右端的三次式没有重根。
当K为特征非2的域时，将(*)中"a,b,c,d∈Q"换作"a,b,c,d∈K"，则成了"K上椭圆曲线"的定义。本章专门考察Q上的椭圆曲线，而特征2时的椭圆曲线则不予叙述。对y^2=x^3,y^2=x^2(x+1)之类的右端具重根的我们不称之为椭圆曲线。在它们的图像（图1.2）中可以看出所引起的不正常的地方，即具有奇点（在这些曲线中的点(0,0)）。
了解椭圆曲线的整点和有理点是费马所喜欢的课题，实际上这也是在本书中进行讨论时所关联到的数学的深层次的地方。
我们已经知道，一般说来，椭圆曲线上的整点并非有限个（Mordell，Siegel）。 另外，不是椭圆曲线的y^2=x^3,y^2=x^2(x+1)不成立整点的有限性，事实上(n^3,n^2)（n∈Z）为y^2=x^3的无限多个整点，而(n^2-1,n(n^2-1))（n∈Z）为y^2=x^2(x+1)的无限多个整点。
另一方面，Q上的椭圆曲线的有理点既可以是有限个也可以是无限个。
§1.3Mordell定理
所谓Mordell定理是指在1922年Mordell所证明的下面的定理。
定理1.12：设E为Q上的椭圆曲线，则E(Q)为有限生成Abel群。
根据“Abel群基本定理”，有限生成Aebl群同构于
(1.5)----Z^((+)r)(+)有限Abel群(r>=0)，Z^((+)r)表示r个Abel群Z的直和。称这个r为这条曲线的秩(rank)。
例如，
y^2=x^3-x,y^2=x^3+1,y^2=x^3-4,y^2=x^3-2的秩分别是0,0,1,1。虽有猜想说有理数域上的椭圆曲线的秩能够任意大，但现在仍是个未解决的问题。
】
§2.16再论下降法
§2.17结论
在十九世纪，费马的遗产有一次受到了毁灭性的威胁。从实质上说，它包含了三个互相关联的原则。一个是应该研究代数几何，首先是代数曲线，不止是在实数域或者最终在复数域上，同样要在其他域上，而且突出地要在有理数域上。其次一个原则是在这个研究中，有理变换是个合适的工具。第三，存在可用于丢番图问题的无限下降法。但是在十九世纪，代数几何中的函数论式方法的显著成功导致了一时间复数对它竞争者的几乎是全盘的胜利，这个胜出是从椭圆函数开始的，它耗尽了对亏格1曲线的全部研究，并延续成为黎曼的Abel函数理论。所谓“纯”几何的发展，特别是由彭赛列开创而由Chasles、莫比乌斯和其他许多人的发展成的射影几何，重新恢复了协调和平衡，如果不是这样，那么从一开始几乎一成不变的要在复数域上进行操作了；这个传统在意大利几何中传承下来并有所超越。在这整个时期中，费马的名字几乎无一例外地总与他的“大定理”即方程x^n+y^n=z^n联系在一起出现，然而他的丰富成果掌握在库默尔的手中，不属于我们当前的主题。
附录Ⅰ欧几里得二次域
附录Ⅱ射影空间中的亏格1曲线
我们已经看到，大多数费马所研究过的丢番图问题涉及的方程或方程组，我们现在会说，它们定义了椭圆曲线，即亏格为1的代数曲线；在每个情形中的问题都是求该曲线上的有理点（有时是整点）。为了真正了解他的方法，将它们转换成现在在代数几何中通常使用的语言将
是方便的。
在这里我们必须说的许多话，实际是许多费马关于这个课题的工作，都是在任意的基域上仍然保持有效的，甚至包括那些特征p>1的域；为了使语言简明，我们将忽略后面的这种情形。就费马所关心的范围而言，与实数域R（在他的年代理解为“几何”的域）、有理数域Q以及
在这里我们必须说的许多话，实际是许多费马关于这个课题的工作，都是在任意的基域上仍然保持有效的，甚至包括那些特征p>1的域；为了使语言简明，我们将忽略后面的这种情形。就费马所关心的范围而言，与实数域R（在他的年代理解为“几何”的域）、有理数域Q以及
隐含着的所有代数数域都有关联。
附录Ⅲ作为空间四次曲线的费马的“二重方程”
附录Ⅳ下降法与莫德尔定理
附录Ⅴ方程y^2=x^3-2x
摘录自从芝诺到庞加莱第四章业余爱好者中的王子费马：
我们现在转向费马最伟大的工作，所有的人，不论是数学家还是业余爱好者，都同样能了解这项工作。这就是所谓的“数论”，或者叫“高等算术”，或者最后，用一个不卖弄学问的名称，叫算术，这个名称对高斯来说就足够好了。
方程y^3=x^2+2是一个丢番图方程。丢番图是首先强调方程的整数解或者有理（分数）解的人之一。y=3，x=5这个解是“由检查”看出的；问题的困难在于证明没有其他的整数y，x能满足这个方程。费马证明了没有其他的解，但像通常那样没有发表他的证明。直到他死后好多年，才找到了一个证明。
摘录自第零章序——费马和数论
费马大定理（费马猜想）却由英国数学家A.Wi1es在1994年9月所证明。费马大定理是费马于大约1630年（1637年）在自己读的一本书（古希腊名著《算术》）的空白边上写下来的。
费马在试着去把方程式的2次改为3次，4次，5次的情形。
方程式x^2+y^2=z^2的自然数解（正整數解）有(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)等等许多。
附录Ⅲ作为空间四次曲线的费马的“二重方程”
附录Ⅳ下降法与莫德尔定理
附录Ⅴ方程y^2=x^3-2x
摘录自从芝诺到庞加莱第四章业余爱好者中的王子费马：
我们现在转向费马最伟大的工作，所有的人，不论是数学家还是业余爱好者，都同样能了解这项工作。这就是所谓的“数论”，或者叫“高等算术”，或者最后，用一个不卖弄学问的名称，叫算术，这个名称对高斯来说就足够好了。
方程y^3=x^2+2是一个丢番图方程。丢番图是首先强调方程的整数解或者有理（分数）解的人之一。y=3，x=5这个解是“由检查”看出的；问题的困难在于证明没有其他的整数y，x能满足这个方程。费马证明了没有其他的解，但像通常那样没有发表他的证明。直到他死后好多年，才找到了一个证明。
摘录自第零章序——费马和数论
费马大定理（费马猜想）却由英国数学家A.Wi1es在1994年9月所证明。费马大定理是费马于大约1630年（1637年）在自己读的一本书（古希腊名著《算术》）的空白边上写下来的。
费马在试着去把方程式的2次改为3次，4次，5次的情形。
方程式x^2+y^2=z^2的自然数解（正整數解）有(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)等等许多。
在古希腊，出现了以被称为首先证明了三平方定理（勾股定理）的毕达哥拉斯（公元前6世纪）为首的许多卓越的数学家。毕达哥拉斯也被称为数论的鼻祖，留下了“万物皆数”的话。
公元前3世纪写就的集古希腊数学之大成的Euclid的《几何原本》中，关于数方面写了“存在无限多个素数”的证明以及关于最大公约数、最小公倍数等等。在几何原本中还谈及了上述的无理数存在问题，从而展开了更高层次的实数理论的讨论。这个使毕达哥拉斯烦恼的，而《几何原本》却讨论很多的“从有理数为出发点如何得出实数”的问题，却在很远以后的19世纪才给出了完全的解答。
然而以19世纪所具有的实数理论还不足以给古希腊数学所提出的“何为数”的问题打上终止符。到了20世纪，用从有理数制造实数相近的方法，在所有的素数p，人们以有理数为出发点给出了与实数世界完全不同的数的世界，即“p进数的世界”，并且事实已经证明p进数世界跟实数一样的自然，也是重要的数世界。有{p进数}{>}{有理数}{<}实数，关于这个p进数我们将在第二章中讲解。
摘录自数学史上的里程碑第11讲第一个伟大的数论学家丢番图和他的《算术》（约公元250年）
关于数的研究，有两方面的问题：算术（数论）和计算术（算法）。
丢番图写了三部著作：《算术》（数论Ⅰ作《数论》），原有十三卷，现存六卷；《论多边形数》，现存其中一些片段；《衍论》，已逸失。
《算术》一书是一部具有高度创造性的伟大著作。它对代数数论作了解析处理，这说明它的作者是一位技巧高超的数论大师。这部著作已有很多评注者，其中J.Regiomontanus在1463年建议把现存的希腊文译成拉丁文。西兰德（海德堡大学教授W.Holzmann的希腊文名字）于1575年响应了这一号召，完成了一部很值得称赞的拉丁文译稿，并作了很有价值的评注。法国人巴歇利用西兰德的译稿，于1621年出版了第一个希腊文版本，并带有拉丁文的译文和注释。巴歇的译本的第二版于1670年出版。这个版本在历史上特别重要，因为它包含着费马所做的一个著名的页边注（已编入正文），这个页边注引起了关于数论的广泛研究。后来又出现了《算术》一书的法译本、德译本和英译本。
《算术》一书现存部分讲的是大约130个问题的解法，这些问题内容相当广泛，可以归结为一次和二次方程；还解出了一个很特殊的三次方程。第一册涉及一个未知数的确定方程，其他各册涉及两个和三个未知数的二次不定方程。这里显然没有给出一般解法，而是针对每一个具体问题的需要，设计一些巧妙的数学方法，因为丢番图只承认正有理解，并且在大多数情况下，只要对于一个问题找到了一个答案，他就满足了，虽然还可能存在许多不同的答案。
应当记住：这里所谓“数”都是指“正有理数”。
第一卷问题17：试求四个数，使其中每三个数之和分别等于给定的四个数，譬如说22,24,27和20。
《算術》第二卷问题8：“將一個平方數分為兩個平方數”。即求方程x^2+y^2=z^2的正整數解。费马在《算术》一书的一个巴歇的译本上写出了下述引人注目的边注：“要想把一个立方数分成两个立方数，把一个四次幂分成两个四次幂，一般地说，把一个任何高于二次的幂分成两个同次幂，都是不可能的。对此，我确已找到一个巧妙的证明，但是纸边太窄，无法写下。”换句话说，費馬声称他已经证明了这一事实：不存在正整数x，y，z，使得x^n+y^n=z^n，其中n>2。
第二卷问题18：试求两个平方数，使得它们的积加上其中任何一个数，都等于一个平方数。（丢番图的答案是(3/4)^2，(7/24)^2）
第三卷问题6：试求三个数，使得它们的和等于一个平方数，其中任何两数之和也等于一个平方数。（丢番图的答案是80，320，41。）
第三卷问题7：试求三个数，使得它们构成算术序列，而其中任何两数之和都等于一个平方数。
【
费马的贡献
数论的近代理论是由费马开创的。
费马对古希腊数论的继承和发展之一，是他对“形中之数”的研究。继毕达哥拉斯研究三角形数、正方形数之后，古希腊的数学家们又先后研究了五边形数（1,5,12,22，……），六边形数（1,6,15,28，……）等等。希腊数学家们给出了五边形数与六边形数的一般表达式，它们分别是(3n^2-n)/2和2n^2-n。至于其它的尚未发现。
费马得出：如果把0也作为多边形数的话，那么每个正整数应该
1.本身是一个三角形数，或者是2个，3个三角形数之和；
2.本身是一个正方形数，或者是2个，3个，4个正方形数之和；
3.本身是一个五边形数，或者是2个，3个，4个，5个五边形数之和。
并以此类推到正整数与更高的正多边形数的关系上。费马说他用无穷递推法证明了这个定理，但是没有文字记载。
欧几里得的几何专著《原本》中专辟了三卷来论述素数的问题。其中不仅有“素数、合数、互素、完全数”等的定义，而且给出了不少有关素数的定理，像“素数个数无限定理”就是其中的一个。费马说：“全部数论问题就在于以何种方法来将一个整数分解为素因数”。
1640年，费马十分高兴的写信告诉给梅森（Marin Mersenne，1588-1648），他对素数已经得出了许多定理，其中有作为数论研究基础的三个定理。内容是：
1若n是合数，则2^n-1是合数。
2若n是素数，则2^n-2可被2n除尽。
3若n是素数，则除了2Kn+1这种形式的数之外，2^n-1不能被其它素数除尽。
费马确实发现了许多有关素数的定理，其中有：
1全部[奇]素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
2形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表达为两个平方数之和。例如13=3^2+2^2，29=5^2+2^2等。1749年，欧拉首先给出了它的一个证明。
3没有一个形如4n+3的素数，能表为两个平方数之和。<=>一个奇数的平方和除4余1。
4形如4n+1的一个素数能够，而且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；而4n+1的平方是两个而且只能是两个这种直角三角形的斜边；4n+1的立方是三个而且只能是三个这种直角三角形的斜边；推而广之，它的n次方则是n个而且只能是n个这种直角三角形的斜边。例如(3,4,5),(15,20,5^2),(7,24,5^2),(75,100,5^3),(35,120,5^3),(44,117,5^3)等等。
5形如4n+1的素数与它的平方只能以一种方式表达为两个平方数之和；而她的三次和四次方都只能以两种方式表达为两个平方数之和；它的五次和六次方都只能以三种方式表达为两个平方数之和，如此等等，乃至无穷。
6作为素数表示为平方和问题的推广，它又得出将素数表示为x^+my^2(m=2,3,5,-2)等等各种形式的定理。
7费马小定理：若p是一个素数，且a与p互素，则a^p-a能被p整除。1736年欧拉首先给出关于它的证明。
8边数为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
9费马在1657年提出求费马方程x^2-Dy^2=1的整数解的问题，其中D为非二次正整数。费马同时指出这个方程有无穷多个解。
10每个正整数是不多于四个平方数的和（允许一个平方数重复出现，只要把它出现的次数算上）。这原先是丢番图提出的一个猜想，费马将它再次提出。1770年又由这个问题引出著名的华林（1734-1798）猜想。
】
【
问题17：拉格朗日四平方和定理怎样推广？
几何方法是古希腊人研究算术和代数一种常用方法。毕达哥拉斯时代简单地采用“图形的观察法”就能够得到下面的代数运算法则：n^2=1+3+5+7+…+(2n-1)。
几何法n^2=1+3+5+7+…+(2n-1)
毕达哥拉斯采用几何法定义多边形数。
三角形数{1,3,6,10,……}：n(n+1)/2，类似的方法定义四边形数、五边形数等等。
四边形数{1,4,9,16,……}：n^2=n(2n)/2。
五边形数{1,5,12,22,……}：n(3n-1)/2。
六边形数：n(4n-2)/2。
七边形数：n(5n-3)/2。
……
定义：m边形数列是一个正整数的无限序列，它的第n项通项公式是p_m(n)=n((m-2)n+(4-m))/2=(m-2)(n^2-n)/2+n。
能够利用几何方法知道两个相继的三角形数之和是一个正方形数：n^2=n(n-1)/2+ n(n+1)/2，即p_4(n)=p_3(n-1)+p_3(n)。
1670年，费马（已死5年）把法国数学家Bachet de Meziriac于1621年提出的四平方和猜想（即1770年获证的拉格朗日四平方和定理）推广到更为一般的情形，提出了下面的费马多边形猜想（1670）： 每个正整数N都可以表为最多m个m边形数的和。
利用整数有限基的语言，多边形数猜想等价于下面的命题：
多边形数猜想：m边形数是正整数集的m阶基。
1770年，拉格朗日证明了m=4的情形，1801年高斯证明m=3的情形，1813年柯西证明了一般的多边形数定理。
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陈省身谈费马大定理：
最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方程式x^n+y^n=z^n,n>2没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明，最近由Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段，是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat 定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期的“Annals of Mathematics"(Prinston大学杂志，1996，第一期)整个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理(Wiles为此同Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National AcademyScience Award in Mathematics).
有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一个分支。有以下一则故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如1729 = 1^3+12^3=9^3+10^3这结果可用椭圆曲线论来证明。
我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程P(x,y) = 0(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是数论中的一个主要问题。
需要说明的，在Wiles 完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet ,他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。
Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。椭圆曲线也是一个卡拉比-丘成桐空间。
所谓椭圆曲线（elliptic curve），就是把这个曲线看成复平面[应该是复二维空间C^2，不是C]内亏格(genus)等于1的复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面的点有一个可交换群的构造。两个点可以加起来，且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所有曲线的亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于-1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科学杂志(Science)，有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性的，题为“代数几何与代数数论”的会议，由冯克勤先生主持。
从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙。
我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定吸取几千年所有的进步。
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公元前3世纪写就的集古希腊数学之大成的Euclid的《几何原本》中，关于数方面写了“存在无限多个素数”的证明以及关于最大公约数、最小公倍数等等。在几何原本中还谈及了上述的无理数存在问题，从而展开了更高层次的实数理论的讨论。这个使毕达哥拉斯烦恼的，而《几何原本》却讨论很多的“从有理数为出发点如何得出实数”的问题，却在很远以后的19世纪才给出了完全的解答。
然而以19世纪所具有的实数理论还不足以给古希腊数学所提出的“何为数”的问题打上终止符。到了20世纪，用从有理数制造实数相近的方法，在所有的素数p，人们以有理数为出发点给出了与实数世界完全不同的数的世界，即“p进数的世界”，并且事实已经证明p进数世界跟实数一样的自然，也是重要的数世界。有{p进数}{>}{有理数}{<}实数，关于这个p进数我们将在第二章中讲解。
摘录自数学史上的里程碑第11讲第一个伟大的数论学家丢番图和他的《算术》（约公元250年）
关于数的研究，有两方面的问题：算术（数论）和计算术（算法）。
丢番图写了三部著作：《算术》（数论Ⅰ作《数论》），原有十三卷，现存六卷；《论多边形数》，现存其中一些片段；《衍论》，已逸失。
《算术》一书是一部具有高度创造性的伟大著作。它对代数数论作了解析处理，这说明它的作者是一位技巧高超的数论大师。这部著作已有很多评注者，其中J.Regiomontanus在1463年建议把现存的希腊文译成拉丁文。西兰德（海德堡大学教授W.Holzmann的希腊文名字）于1575年响应了这一号召，完成了一部很值得称赞的拉丁文译稿，并作了很有价值的评注。法国人巴歇利用西兰德的译稿，于1621年出版了第一个希腊文版本，并带有拉丁文的译文和注释。巴歇的译本的第二版于1670年出版。这个版本在历史上特别重要，因为它包含着费马所做的一个著名的页边注（已编入正文），这个页边注引起了关于数论的广泛研究。后来又出现了《算术》一书的法译本、德译本和英译本。
《算术》一书现存部分讲的是大约130个问题的解法，这些问题内容相当广泛，可以归结为一次和二次方程；还解出了一个很特殊的三次方程。第一册涉及一个未知数的确定方程，其他各册涉及两个和三个未知数的二次不定方程。这里显然没有给出一般解法，而是针对每一个具体问题的需要，设计一些巧妙的数学方法，因为丢番图只承认正有理解，并且在大多数情况下，只要对于一个问题找到了一个答案，他就满足了，虽然还可能存在许多不同的答案。
应当记住：这里所谓“数”都是指“正有理数”。
第一卷问题17：试求四个数，使其中每三个数之和分别等于给定的四个数，譬如说22,24,27和20。
《算術》第二卷问题8：“將一個平方數分為兩個平方數”。即求方程x^2+y^2=z^2的正整數解。费马在《算术》一书的一个巴歇的译本上写出了下述引人注目的边注：“要想把一个立方数分成两个立方数，把一个四次幂分成两个四次幂，一般地说，把一个任何高于二次的幂分成两个同次幂，都是不可能的。对此，我确已找到一个巧妙的证明，但是纸边太窄，无法写下。”换句话说，費馬声称他已经证明了这一事实：不存在正整数x，y，z，使得x^n+y^n=z^n，其中n>2。
第二卷问题18：试求两个平方数，使得它们的积加上其中任何一个数，都等于一个平方数。（丢番图的答案是(3/4)^2，(7/24)^2）
第三卷问题6：试求三个数，使得它们的和等于一个平方数，其中任何两数之和也等于一个平方数。（丢番图的答案是80，320，41。）
第三卷问题7：试求三个数，使得它们构成算术序列，而其中任何两数之和都等于一个平方数。
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费马的贡献
数论的近代理论是由费马开创的。
费马对古希腊数论的继承和发展之一，是他对“形中之数”的研究。继毕达哥拉斯研究三角形数、正方形数之后，古希腊的数学家们又先后研究了五边形数（1,5,12,22，……），六边形数（1,6,15,28，……）等等。希腊数学家们给出了五边形数与六边形数的一般表达式，它们分别是(3n^2-n)/2和2n^2-n。至于其它的尚未发现。
费马得出：如果把0也作为多边形数的话，那么每个正整数应该
1.本身是一个三角形数，或者是2个，3个三角形数之和；
2.本身是一个正方形数，或者是2个，3个，4个正方形数之和；
3.本身是一个五边形数，或者是2个，3个，4个，5个五边形数之和。
并以此类推到正整数与更高的正多边形数的关系上。费马说他用无穷递推法证明了这个定理，但是没有文字记载。
欧几里得的几何专著《原本》中专辟了三卷来论述素数的问题。其中不仅有“素数、合数、互素、完全数”等的定义，而且给出了不少有关素数的定理，像“素数个数无限定理”就是其中的一个。费马说：“全部数论问题就在于以何种方法来将一个整数分解为素因数”。
1640年，费马十分高兴的写信告诉给梅森（Marin Mersenne，1588-1648），他对素数已经得出了许多定理，其中有作为数论研究基础的三个定理。内容是：
1若n是合数，则2^n-1是合数。
2若n是素数，则2^n-2可被2n除尽。
3若n是素数，则除了2Kn+1这种形式的数之外，2^n-1不能被其它素数除尽。
费马确实发现了许多有关素数的定理，其中有：
1全部[奇]素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
2形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表达为两个平方数之和。例如13=3^2+2^2，29=5^2+2^2等。1749年，欧拉首先给出了它的一个证明。
3没有一个形如4n+3的素数，能表为两个平方数之和。<=>一个奇数的平方和除4余1。
4形如4n+1的一个素数能够，而且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；而4n+1的平方是两个而且只能是两个这种直角三角形的斜边；4n+1的立方是三个而且只能是三个这种直角三角形的斜边；推而广之，它的n次方则是n个而且只能是n个这种直角三角形的斜边。例如(3,4,5),(15,20,5^2),(7,24,5^2),(75,100,5^3),(35,120,5^3),(44,117,5^3)等等。
5形如4n+1的素数与它的平方只能以一种方式表达为两个平方数之和；而她的三次和四次方都只能以两种方式表达为两个平方数之和；它的五次和六次方都只能以三种方式表达为两个平方数之和，如此等等，乃至无穷。
6作为素数表示为平方和问题的推广，它又得出将素数表示为x^+my^2(m=2,3,5,-2)等等各种形式的定理。
7费马小定理：若p是一个素数，且a与p互素，则a^p-a能被p整除。1736年欧拉首先给出关于它的证明。
8边数为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
9费马在1657年提出求费马方程x^2-Dy^2=1的整数解的问题，其中D为非二次正整数。费马同时指出这个方程有无穷多个解。
10每个正整数是不多于四个平方数的和（允许一个平方数重复出现，只要把它出现的次数算上）。这原先是丢番图提出的一个猜想，费马将它再次提出。1770年又由这个问题引出著名的华林（1734-1798）猜想。
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问题17：拉格朗日四平方和定理怎样推广？
几何方法是古希腊人研究算术和代数一种常用方法。毕达哥拉斯时代简单地采用“图形的观察法”就能够得到下面的代数运算法则：n^2=1+3+5+7+…+(2n-1)。
几何法n^2=1+3+5+7+…+(2n-1)
毕达哥拉斯采用几何法定义多边形数。
三角形数{1,3,6,10,……}：n(n+1)/2，类似的方法定义四边形数、五边形数等等。
四边形数{1,4,9,16,……}：n^2=n(2n)/2。
五边形数{1,5,12,22,……}：n(3n-1)/2。
六边形数：n(4n-2)/2。
七边形数：n(5n-3)/2。
……
定义：m边形数列是一个正整数的无限序列，它的第n项通项公式是p_m(n)=n((m-2)n+(4-m))/2=(m-2)(n^2-n)/2+n。
能够利用几何方法知道两个相继的三角形数之和是一个正方形数：n^2=n(n-1)/2+ n(n+1)/2，即p_4(n)=p_3(n-1)+p_3(n)。
1670年，费马（已死5年）把法国数学家Bachet de Meziriac于1621年提出的四平方和猜想（即1770年获证的拉格朗日四平方和定理）推广到更为一般的情形，提出了下面的费马多边形猜想（1670）： 每个正整数N都可以表为最多m个m边形数的和。
利用整数有限基的语言，多边形数猜想等价于下面的命题：
多边形数猜想：m边形数是正整数集的m阶基。
1770年，拉格朗日证明了m=4的情形，1801年高斯证明m=3的情形，1813年柯西证明了一般的多边形数定理。
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陈省身谈费马大定理：
最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方程式x^n+y^n=z^n,n>2没有非平凡的整数解(即xyz<>0). 这个传说了300年的结果的证明，最近由Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段，是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat 定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期的“Annals of Mathematics"(Prinston大学杂志，1996，第一期)整个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理(Wiles为此同Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National AcademyScience Award in Mathematics).
有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一个分支。有以下一则故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如1729 = 1^3+12^3=9^3+10^3这结果可用椭圆曲线论来证明。
我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程P(x,y) = 0(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是数论中的一个主要问题。
需要说明的，在Wiles 完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet ,他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat 定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。
Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。椭圆曲线也是一个卡拉比-丘成桐空间。
所谓椭圆曲线（elliptic curve），就是把这个曲线看成复平面[应该是复二维空间C^2，不是C]内亏格(genus)等于1的复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面的点有一个可交换群的构造。两个点可以加起来，且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所有曲线的亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于-1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科学杂志(Science)，有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性的，题为“代数几何与代数数论”的会议，由冯克勤先生主持。
从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙。
我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定吸取几千年所有的进步。
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