图之查找关键路径（python）实现
图之查找关键路径（python）实现
与AOV-网对应的是AOE-网（Activity on Edge）即便表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件，弧表示活动持续的时间。通常，AOE网可以用来估算工程的完成时间。
由于AOE网中的有些活动是可以并行进行的，所以完成整个工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径长度（这里所说的路径长度是指路径上各活动的持续时间之和，不是路径上弧的数目。）路径长度最长的路径叫做关键路径。
求关键路径的算法：
（1）输入e条弧（j，k），建立AOE网；
（2）从源点v0v_0v0出发，令ve[0] = 0,按照拓扑排序求其余各个顶点的最早发生时间ve[i],(i <= i <= n-1)。如果得到的拓扑有序序列中顶点的个数小于网中的顶点数n，则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤三；
（3）从汇点vnv_nvn出发，令vl[n-1] = ve[n-1]，按照逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i],(n-2 >= i >= 2);
（4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间l(s)。若某条弧满足条件e(s) = l(s),则为关键活动。
那到底如何来求呢？我们来看看例子。
首先先解释下上面提到的结果名次词：
顶点表示事件（能被触发，最早发生时间Ve(j);最晚发生时间Vl(j)）;
边表示活动（能被开始，最早开始时间e(i)；最晚开始时间l(i)）
并且AOE网中的点和边遵循两个原则：
（1）只有某顶点所代表事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始
（2）只有进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生
现在那知道了点和边的属性，怎样计算关键路径呢？
计算关键路径：
计算关键路径，只需求出上面的四个特征属性，然后取e(i)=l(i)的边即为关键路径上的边（关键路径可能不止一条）。
下面我们来计算一个例图的关键路径：
下面我们来计算各事件的：
Ve(v):最早发生时间：是指从始点开始到顶点Vk的最大路径长度
(1)从前向后，取大值：直接前驱结点的Ｖe(j)＋到达边（指向顶点的边）的权值，有多个值的取较大者
(2)首结点Ve(j)已知，为0
Vl(v):最迟发生时间:在不推迟整个工期的前提下，事件vk允许的最晚发生时间
(1)从后向前，取小值：直接后继结点的Ｖl(j) –发出边（从顶点发出的边）的权值，有多个值的取较小者;
(2)终结点Vl(j)已知，等于它的Ve(j)）
| 顶点（事件） | Ve（最早发生时间） | VL（最迟发生时间） |
|---|---|---|
| A | Ve(A)=0 | VI(A) =MIN( Vl(B)-c(a1) , Vl(CCC)-c(a2) , Vl(D)-c(a3) ) = MIN(6-6,6-4,12-5) =MIN(0,2,7) =0 |
| B | Ve(B)=Ve(A)+c(a1) = 0+6 =6 | VI(B) = VI(E)-c(a4)=7-1=6 |
| C | Ve(CCC)=Ve(A)+c(a2) = 0+4 =4 | VI(CCC) = VI(E)-c(a5)=7-1=6 |
| D | Ve(D)= Ve(A)+c(a3) = 0+5 =5 | VI(D) = VI(H)-c(a6)=14-2=12 |
| E | Ve(E)=MAX( Ve(B)+c(a4) , Ve(CCC)+c(a5) ) = MAX(6+1,4+1) = 7 | VI(E) =MIN( Vl(F)-c(a7) , Vl(G)-c(a8) ) = MIN(16-9,14-7) =MIN(7,7) =7 |
| F | Ve(F)= Ve(E)+c(a7) =7+9=16 | VI(F) = VI(I)-c(a10)=18-2=16 |
| G | Ve(G)= Ve(E)+c(a8)=7+7=14 | VI(G) = VI(I)-c(a11)=18-4=14 |
| H | Ve(H)=Ve(D)+c(a6)=5+2=7 | VI(H) = VI(I)-c(a9)=18-4=14 |
| I | Ve(I)=MAX( Ve(F)+c(a10) , Ve(G)+c(a11) ,Ve(H)+c(a9)) = MAX(16+2,14+4,7+4) = 18 | VI(I) = Ve(I) = 18 |
下面来计算各活动的：
e(v):最早发生时间：
若活动ai由弧<vk,vj>表示，则活动ai的最早开始时间应该等于事件vk的最早发生时间。因而，有：e[i]=ve[k];（即：边（活动）的最早开始时间等于，它的发出顶点的最早发生时间）
l(v):最迟发生时间：
若活动ai由弧<vk,vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。 因而有：l[i]=vl[j]-len<vk,vj>1（为边（活动）的到达顶点的最晚发生时间减去边的权值）
**d(v):活动时间余量：**d(v) = l(v) - e(v)
| 边（活动） | e(V)最早发生时间 | l(v)最晚发生时间 | d(v)时间余量 |
|---|---|---|---|
| a1 | e(a1)=Ve(A)=0 | l(a1)=Vl(B)-6=6-6-0 | d(a1)=0-0=0 |
| a2 | e(a2)= Ve(A)=0 | l(a2)=VI(CCC)-4=6-4=2 | d(a2)=2-0=2 |
| a3 | e(a3)= Ve(A)=0 | l(a3)=Vl(D)-5=12-5=7 | d(a3)=7-0=7 |
| a4 | e(a4)=Ve(B)=6 | l(a4)=Vl(E)-1=7-1=6 | d(a4)=6-6=0 |
| a5 | e(a5)=Ve(CCC)=4 | l(a5)=Vl(E)-1=7-1=6 | d(a5)=6-4=2 |
| a6 | e(a6)=Ve(D)=5 | Ve(D)=5l(a6)=Vl(H)-2=14-2=12 | d(a6)=12-5=7 |
| a7 | e(a7)=Ve(E)=7 | l(a7)=Vl(F)-9=16-9=7 | d(a7)=7-7=0 |
| a8 | e(a8)=Ve(E)=7 | l(a8)=Vl(G)-7=14-7=7 | d(a8)=7-7=0 |
| a9 | e(a9)=Ve(H)=7 | Ve(H)=7l(a9)=Vl(I)-4=18-4=14 | d(a9)=14-7=7 |
| a10 | e(a10)=Ve(F)=16 | l(a10)=Vl(I)-2=18-2=16 | d(a10)=16-16=0 |
| a11 | e(a11)=Ve(G)=14 | l(a11)=Vl(I)-4=18-4=14 | d(a11)=14-14=0 |
那么由上表可知：d(v)等于0的为关键活动，所以a1,a4,a7,a8,a10,a11所表示的活动为关键路径：
至此，我们得到了关键路径：A-B,B-E,E-F,E-G,F-I,G-I。
下面我们用代码来实现该过程：
def find_shorted_path():#顶点列表node_list = ['A','B','C','D','E','F','G','H','I']edge_list = [['A','B', 6],['A', 'C', 4],['A', 'D', 5],['B', 'E', 1],['C', 'E', 1],['D', 'H', 2],['E', 'F', 9],['E', 'G', 7],['F', 'I', 2],['G', 'I', 4],['H', 'I', 4],]'''计算各个顶点的Ve(v)最早发生时间'''#找出图的起点temp_start_list = []for edge in edge_list:temp_start_list.append(edge[1])start_node = [x for x in node_list if x not in temp_start_list]# print(start_node)Ve_node_dict = {}Ve_node_dict[start_node[0]] = 0for node in node_list:Ve_tempnode_list = []for edge in edge_list:if node == edge[1]:temp_Ve_node_value = Ve_node_dict[edge[0]] + edge[2]Ve_tempnode_list.append(temp_Ve_node_value)if len(Ve_tempnode_list) == 0:Ve_node_dict[node] = 0if len(Ve_tempnode_list) == 1:Ve_node_value = Ve_tempnode_list[0]Ve_node_dict[node] = Ve_node_valueif len(Ve_tempnode_list) > 1:Ve_node_value = max(Ve_tempnode_list)Ve_node_dict[node] = Ve_node_valueprint('Ve(v)最早发生时间:\n',Ve_node_dict,'\n')'''计算各个顶点的Vl(v)最迟发生时间'''#找出图的终点temp_end_list = []for edge in edge_list:temp_end_list.append(edge[0])end_node = [x for x in node_list if x not in temp_end_list]# print(end_node)Vl_node_dict = {}Vl_node_dict[end_node[0]] = Ve_node_dict[end_node[0]]reverse_edge_list = []for i in range(len(edge_list)-1,-1,-1):reverse_edge_list.append(edge_list[i])for node in reversed(node_list):Vl_tempnode_list = []for edge in reverse_edge_list:if node == edge[0]:temp_Vl_node_value = Vl_node_dict[edge[1]] - edge[2]Vl_tempnode_list.append(temp_Vl_node_value)if len(Vl_tempnode_list) == 0:Vl_node_dict[node] = Ve_node_dict[end_node[0]]if len(Vl_tempnode_list) == 1:Vl_node_value = Vl_tempnode_list[0]Vl_node_dict[node] = Vl_node_valueif len(Vl_tempnode_list) > 1:Vl_node_value = min(Vl_tempnode_list)Vl_node_dict[node] = Vl_node_valueprint('Vl(v)最迟发生时间:\n',Vl_node_dict,'\n')'''计算各个边的e(a)最早发生时间'''e_bian_dict = {}for edge in edge_list:e_bian_dict['{}-{}'.format(edge[0],edge[1])] = Ve_node_dict[edge[0]]print('e(a)最早发生时间:\n',e_bian_dict,'\n')'''计算各个边的l(a)最迟发生时间'''l_bian_dict = {}for edge in edge_list:l_bian_dict['{}-{}'.format(edge[0],edge[1])] = Vl_node_dict[edge[1]] - edge[2]print('l(a)最迟发生时间:\n',l_bian_dict,'\n')'''计算时间余量d(a)'''d_bian_dict = {}for bian in e_bian_dict.keys():d_bian_dict[bian] = l_bian_dict[bian] - e_bian_dict[bian]print("d(a)时间余量:\n",d_bian_dict,'\n')print("关键路径为：",[x for x in d_bian_dict if d_bian_dict[x] == 0])if __name__ == "__main__":find_shorted_path()
运行结果：
Ve(v)最早发生时间:{'A': 0, 'B': 6, 'C': 4, 'D': 5, 'E': 7, 'F': 16, 'G': 14, 'H': 7, 'I': 18} Vl(v)最迟发生时间:{'I': 18, 'H': 14, 'G': 14, 'F': 16, 'E': 7, 'D': 12, 'C': 6, 'B': 6, 'A': 0} e(a)最早发生时间:{'A-B': 0, 'A-C': 0, 'A-D': 0, 'B-E': 6, 'C-E': 4, 'D-H': 5, 'E-F': 7, 'E-G': 7, 'F-I': 16, 'G-I': 14, 'H-I': 7} l(a)最迟发生时间:{'A-B': 0, 'A-C': 2, 'A-D': 7, 'B-E': 6, 'C-E': 6, 'D-H': 12, 'E-F': 7, 'E-G': 7, 'F-I': 16, 'G-I': 14, 'H-I': 14} d(a)时间余量:{'A-B': 0, 'A-C': 2, 'A-D': 7, 'B-E': 0, 'C-E': 2, 'D-H': 7, 'E-F': 0, 'E-G': 0, 'F-I': 0, 'G-I': 0, 'H-I': 7} 关键路径为： ['A-B', 'B-E', 'E-F', 'E-G', 'F-I', 'G-I']
与手动查找的关键路径相同。
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