计算机视觉教程1-1：透视空间与透视变换

0 写在前面

在这里插入图片描述

如图所示是生活中常见的透视现象，其物理本质是光的直线传播。透视也可描述为“近大远小”，如图(a)所示，其对应透视空间；若物体大小不随观察点的远近改变，如图(b)所示，则其对应欧式空间。由于人眼与相机在捕获图像时均存在透视现象，因此计算机几何基于透视空间进行研究。

在这里插入图片描述

1 透视空间

为直观起见，先描述二维透视空间，其原理可直接推广至三维空间。如下左图是一个二维欧式平面 $R2\mathbb{R}^2$ ，现在引入二维透视坐标 $P2\mathbb{P}^2$ ，透视坐标将欧式空间的维度扩展到三维，第三维度 $w~\tilde{w}$ 表示物体与观察点的距离，约定以 $w = 1$ 为参考平面。

根据光沿直线传播的原理，从透视坐标系原点引出一条视线 $l~\boldsymbol{\tilde{l}}$ 穿过欧式平面的点 $A$ 。不妨上下平移欧式平面，调整点 $A$ 与观察点的距离。欧式空间中的不同点 $A$ 、 $A^{'}$ 在透视空间中是相同的，因为 $l~\boldsymbol{\tilde{l}}$ 是同一个点在不同观察距离下的表现集合，透视空间中用直线(视线) $l~\boldsymbol{\tilde{l}}$ 表示欧式空间的点。

在这里插入图片描述

现在保持欧式空间中的点相同，再次调整观察距离，如下图所示。观察距离越远视线越发散、信息越局部；观察距离越近视线越收敛，信息越全局——此现象可以用投影仪工作场景来说明。

在这里插入图片描述

定义透视空间的视线 $l~=(x,y,w)\boldsymbol{\tilde{l}}=\left( x,y,w \right)$ 当 $w≠0w\ne 0$ 时， $l~\boldsymbol{\tilde{l}}$ 对应欧式空间中的点 $L(xw,yw)L\left( \frac{x}{w},\frac{y}{w} \right)$ ， $l~\boldsymbol{\tilde{l}}$ 也称为点 $L$ 的齐次坐标(Homogeneous Coordinates)，当 $w = 0$ 时， $l~\boldsymbol{\tilde{l}}$ 对应欧式空间中的向量 $L⃗=(x,y)\vec{L}=\left( x,y \right)$ ， $w = 0$ 也体现了其在齐次变换中的平移不变性

透视空间中点与向量的运算
${V±V=VP±V=PP−P=VP+P=MidP(P:PointV:VectorMid:中点)\begin{cases} V\pm V=V\\ P\pm V=P\\ P-P=V\\ P+P=MidP\\\end{cases}\left( P:Point\,\, V:Vector\,\, Mid:\text{中点} \right)$

齐次坐标具有如下性质：

同质性。齐次坐标的几何本质，透视空间中齐次坐标是同一点在不同观察距离下的表现形式
线性。齐次坐标下，可将对应维度欧式空间的变换线性化。例如二维欧式平面中点的平移属于非线性变换，但二维透视空间中可通过线性旋转完成欧式空间中非线性的平移，如下图。

在这里插入图片描述

与用透视空间的直线表示欧式空间的点类似，透视空间中用视平面表示欧式空间的直线——由于法向量唯一确定平面，因此也用该平面的法向量 $l~\boldsymbol{\tilde{l}}$ 表示欧式空间的直线。

在这里插入图片描述

由解析几何易得，透视空间中的直线和点满足下面关系：
${l~1×l~2=x~x~1×x~2=l~\begin{cases} \boldsymbol{\tilde{l}}_1\times \boldsymbol{\tilde{l}}_2=\boldsymbol{\tilde{x}}\\ \boldsymbol{\tilde{x}}_1\times \boldsymbol{\tilde{x}}_2=\boldsymbol{\tilde{l}}\\\end{cases}$

若透视空间中的视线在视平面上(对应欧式空间中点在直线上)，则易知
$l~Tx~=x~Tl~=0\boldsymbol{\tilde{l}}^T\boldsymbol{\tilde{x}}=\boldsymbol{\tilde{x}}^T\boldsymbol{\tilde{l}}=0$

2 透视变换

透视空间变换总体形式如图所示，具体而言列于表中。透视变换表征了平面间(平面上点)的映射关系。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
可见透视空间所有变换都是投影变换的特例，因此研究投影变换具有重要意义，其广泛用于图像校正、视角变换、图像拼接、增强现实等方面，如下图所示。

在这里插入图片描述

🚀 计算机视觉基础教程说明

章号                                    内容
0                              色彩空间与数字成像
1                              计算机几何基础
2                              图像增强、滤波、金字塔
3                              图像特征提取
4                              图像特征描述
5                              图像特征匹配
6                              立体视觉
7                              项目实战

🔥 更多精彩专栏：